工繊大の塚本です.

In article <jukaje$fme$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> この題意ではx∈CでのOKだが

 u \exp(xu)/(\exp(u) - 1) のベキ級数展開と
その収束半径の話だけなら, x \in C でも構いませんが,

> 実践的にはuexp(xu)/(exp(u) - 1)がらみの議論では
> 0<xでのケースでしか議論されないという意味でしょうか?

 \zeta(x, s) を調べるのですから, x は実数で,
 0 < x \leq 1 の場合を扱うのが目標です.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_Bernoulli_polynomial__00.jpg
> がBernulli数やB_n(x)の定義ですがこの場合,

加藤和也・黒川重信・斎藤毅著 岩波講座 現代数学の基礎「数論１」
での定義通り, Bernoulli 数を u/(\exp(u) - 1) のベキ級数展開
 u/(\exp(u) - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n
の係数から定義し,
 B_n(x) = \sum_{i=0}^n B_i x^{n-i} で Bernoulli 多項式を
定義するなら,

> どのようにΣ_{n=0}^∞B_n(x)u^n/n!=uexp(xu)/(exp(u)-1)の証明は
> どのように進めていけばいいのでしょうか?

  u \exp(xu)/(\exp(u) - 1) = (u/(\exp(u) - 1)) \exp(xu)
   = (\sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n)(\sum_{m=0}^\infty (x^m/m!) u^m)

の乗積級数

  = \sum_{k=0}^\infty (\sum_{n+m=k} (B_n/n!)(x^m/m!)) u^k
  = \sum_{k=0}^\infty ((\sum_{i=0}^k (k!/(i!(n-i)!) B_i x^{n-i})/k!) u^k
  = \sum_{k=0}^\infty (B_k(x)/k!) u^k

が, \sum_{n=0}^\infty (B_n/n!) u^n が絶対収束し,
 \sum_{m=0}^\infty (x^m/m!) u^m が絶対収束するとき
絶対収束すること, を用いれば示されます.
 
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_12023__00.jpg
> さえ示せれば終わりなのですが一体どのようなrが採れますでしょうか? 

上のことをきちんと理解すれば, r = 2 \pi で良いことも
分かるでしょう.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp