ご回答誠に有難うございます。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_iv_00.JPG
で(1/1^s+1/2^s+…)(1/1^{s-α}+1/2^{s^α}+…)=Σ_{n_1,n_2=1}^∞
n_2^α/(n_1n_2)^s
とどうして変形できるのでしょうか?

> \sum_{n_1, n_2 = 1}^\infty (n_2)^\alpha/(n_1 n_2)^s
> において, n = n_1 n_2, d = n_2 とすれば,
> = \sum_{n=1}^\infty (\sum_{d|n} d^\alpha)/n^s
> という変形が本当に分かっていますか.

よく分かりません。n = n_1 n_2, d = n_2と置く事によって,例えば
Σ_{i,j=1}^∞ ij=1・1+1・2+2・1+2・2+…=1+2+2+4+…という和になるのに対し
Σ_{ij=1}^∞ ijをd:=ijと置いてΣ_{d=1}^∞ dと書くと
Σ_{d=1}^∞ d=1+2+3+4+…
という風に意味合いが異なってくるのではありませんか?

>> Σ_{n_1n_2}^∞Σ_{n_2|n_1n_2}n_2^α/(n_1n_2)^s
>> =Σ_{k=1}^∞Σ_{n|k}n^α/k^s
>> =Σ_{k=1}(1^α/1^s+1^α/2^s+2^α/2^s+1^α/3^s+3^α/3^s+1^α/4^s+2^α/4^s+4^α/4^s
 >> +1^α/5^s+5^α/5^s+1^α/6^s+2^α/6^s+3^α/6^s+6^α/6^s+1^α/7^s+7^α/7^s
>> +1^α/8^s+2^α/8^s+4^α/8^s+8^α/8^s+…)
>> となりますよね。
> \sum_{k=1} が不要

そうでした。
Σ_{k=1}^∞Σ_{n|k}n^α/k^s
=1^α/1^s+1^α/2^s+2^α/2^s+1^α/3^s+3^α/3^s+1^α/4^s+2^α/4^s+4^α/4^s
+1^α/5^s+5^α/5^s+1^α/6^s+2^α/6^s+3^α/6^s+6^α/6^s+1^α/7^s+7^α/7^s
+1^α/8^s+2^α/8^s+4^α/8^s+8^α/8^s+…
Σ_{k=1}^∞の部分が余計でしたね。

> であることを除けばそうですが,
> どうして折角まとめたものを又バラすのですか.
> 1^\alph/1^s
> + 1^\alpha/2^s + 2^\alpha/2^s
> + 1^\alpha/3^s + 3^\alpha/3^s
：
> となるのは明らかでしょう.

どうもありがとうございます。納得できました。

>>>> Σ_{l|k}c_l(n)=Σ_{l|k}Σ_{h∈{1,2,…,n},GCD{h,n}=1}exp(2π√(-1)hl/n)から
>>> c_\ell(n) の定義が間違っています.
>> この定義のどこが間違いなのでしょうか?
> c_\ell(n)
>  = \sum_{(m, \ell) = 1, 0 < m \leq \ell} \exp(2 \pi i n m / \ell)
> であって, 貴方の書く( h を m に直すと)
>    \sum_{(m, n) = 1, 0 < m \leq n} \exp(2 \pi i m \ell / n)
> とは, \ell と n の立場が逆です.

そうでした。失礼いたしました。

> \sum_{\ell|k} c_\ell(n)
>  = \sum_{\ell|k} \sum_{(m, \ell) = 1, 0 < m \leq \ell}
>      \exp(2 \pi i n m (k/\ell) / k)
> において,
：
>> すいません。なかなかここの議論が理解できませんでしたので
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_2...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_v_3...
>> という具合にA=Bとなることで
>> hがちょうど一度ずつ現れることを示そうと試みたのですが
> 何を為すべきかが分かっていないので, A, B の置き方が変ですね.
> A' = { <\ell, m> \in N \times N ;
>        \ell | k, m \in { 1, 2, \dots, \ell }, (m, \ell) = 1}
> とするとき(順序対を < , > で表しました),
> <m, \ell> \in A' に h = m (k / \ell) を対応させる
> 写像 \phi: A' \to N が一対一であり, その像 B' が
> B' = { 1, 2, \dots, k }
> となることを示すのです.

つまり,Φ∈Map({<l,m>∈N^2;l|k,m∈{1,2,…,l},GCD{m,l}=1},{1,2,…,k});
A':={<l,m>∈N^2;l|k,m∈{1,2,…,l},GCD{m,l}=1}∋∀<l,m>→Φ(<l,m>):=mk/
l=:h∈{1,2,…,k}=:B'
という写像Φが全単射である事
即ち,{mk/l∈N;l|k,m∈{1,2,…,l},GCD{m,l}=1}={1,2,…,k})となる事を示すのですね。

>> 途中から先に進めません。何か勘違いしてますでしょうか?
> まあ, 勘違いというか, 分かっていないのでしょう.
> 先ず, <m, \ell> が A' に入っていれば,
：
> \phi の像 B' が { 1, 2, \dots, k } に一致することが
> 分かります.

ありがとうございます。参考になります。

>>> そうでなければ, \exp(2 \pi i n h / k) \neq 1 ですから
> と書いたのは「 k | n でなければ,  \exp(2 \pi i n / k) \neq 1
> ですから」の間違いでした. (h を消し忘れました.)
：
> k = m \ell, m = k / \ell で, 一対一対応するからです,
> という説明をしました.

どうもありがとうございます。解決できました。

>> ふと,疑問に思ったのですが無限個の足し算の積に
>> 交換法則や結合法則や分配法則を自由に適用してもよいという保障は
>> どこから来るのでしょうか?
>> (勿論,有限個の足し算の積なら当たり前の話ですが)
> 今考えている級数は, Re(s) について定めた範囲において,
> 絶対収束しているからです. 絶対収束している級数は,
> 任意の和の順序交換について, 同じ値を与えます.
> これは絶対収束級数についての基本的な性質ですから,
> 解析学を最初から学び直してください.

絶対収束級数の性質を某書で見つけました。これらの性質は複素絶対収束級数でも同様に成り立つのですね。チェックしてみたいと思います。

>>> 自然数 n とその約数 f および g の組は,
>>> 二つの自然数 f, g とその公倍数 n の組と
>>> 一対一に対応するので,
：
>             + 4^\alpha 1^\beta + 4^\alpha 2^\beta + 4^\alpha 4^\beta)
>   + \cdots
> ですね.

ごもっともです。

>> どうしてΣ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{LCM{f,g}|n}f^αg^α/n^s
>> が出てくるのでしょうか?
> f, g の値の組が同じところを集めてくれば,
> そうなるでしょう.

これもそうですね。

>> ここの部分をチキンと書き直したら
>> Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{n∈{n∈N;[f,g]|n}}f^αg^β/n^s
>> =Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{n∈{n∈N;n/[f,g]=1}}f^αg^β/n^s
>> ですよね?
> 違いますよ.
> = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty
>    f^\alpha g^\alpha / ([f, g] d)^s
> です.

そうですね。

>> それで{n∈N;[f,g]|n}={n∈N;n/[f,g]=1}成立が言えれば
> そんなことは成り立ちません.
> { n \in N ; [f, g] | n } = { [f, g] d \in N ; d \in N }

そうでした。ありがとうございます。

> ここは, f|n, g|n となる n は [f, g]|n となる n であることを

> 用いて和の順序変更をしています.

>  f g = [f, g] (f, g) ですから, [f, g] = f g / (f, g) であり,

>  n/[f, g] = d とすれば, n = [f, g] d ですから,

>  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty

>     f^\alpha g^\beta / ([f, g] d)^s

>  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty

>     f^{\alpha - s} g^{\beta - s} (f, g)^s / d^s

>  = (\sum_{d=1}^\infty 1/d^s) \times

>    (\sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty f^{\alpha-s} g^{\beta-s} (f, g)^s)


すいません。ここの部分が未だよく分かりません。n/[f, g] = dと置き換えずに書くと
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_00.jpg
となりますよね。左辺は問題ありませんが右辺では
Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞部分より前にΣ_{n/[f,g]=1}1/(n/[f,g])^s
が来ているのでfとgをどのように採ればいいのか分からなくなってしまってます。
Σ_{n/[f,g]=1}1/(n/[f,g])^sでのfとgはΣ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞のfとgに勿論,連動しているんですよね?
どのように解釈すればいいのでしょうか?

あと,そこから相変わらず四苦八苦して
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_01.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_02.jpg
という具合に変形していってみたのですが(こんがらがるのでわざとdとか別文字に置き換えませんでした)これで正しいでしょうか?
因みに最後の式変形の理由が相変わらず分かりません。
どうして
ζ(s)ζ(α-s)ζ(β-s)Σ_{n/[f,g]=1}^∞Σ_{n/[f,g]|(f,g)}(n/[f,g])^sΠ_{p|1/
[f,g]}(1-p^-s)(n/[f,g])^{α+β^2s}
に辿り着けるのでしょうか?

>> Σ_{d|n}φ_s(d)=n^sはどのように証明し始めればいいのでしょうか?
> n の素因数分解を
> n = (p_1)^{e_1} (p_2)^{e_2} \cdots (p_r)^{e_r}
> とすると,

> \sum_{d|n} \phi_s(d)
>  = \sum_{f_1=0}^{e_1} \sum_{f_2=0}^{e_2}
>      \cdots \sum_{f_r=0}^{e_r}
>      \phi_s((p_1)^{f_1} (p_2)^{f_2} \cdots (p_r)^{f_r})
：
>  = n^s
> となることから明らかです.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_prime_00.jpg

すっすいません。ここの出だしの変形が分かりません。どうしてこのように変形できるのでしょうか?