ご回答大変ありがとうございます。


> きちんと書けば,
>  ∫_X f dμ
>   := sup { ∫_X g dμ | g は有界で, μ(supp(g)) < ∞, 0 ≦ g ≦ f を
>                         満たす可積分関数 }
> となりますが, それは
>  ∫_X f dμ
>   := sup { ∫_X g dμ | g は有界で, μ(supp(g)) < ∞, 0 ≦ g ≦ f を
>                         満たす単関数 }
> としても同じことです.

ありがとうございます。覚えておきたいと思います。


>> gは②でのfに相当するわけですね。
：
> この定義で ∫_X f dμ < ∞ となる f については,
> g_n ≦ f となる, 有界で μ(supp(g)) < ∞ な正値単関数 g_n で
> L^1 の意味で f に収束するものが取れますから,
> その部分列で f に概収束するものが取れます.
> それは単調増加にも取れます.

了解いたしました。


> 一般の f について, f に概収束する上のような g_n を作れ,
> といわれると困るかも知れません. X が σ-有限であれば,
> f に収束する上のような g_n は簡単に作れます.
> 少し勘違いしていましたが, これが σ-有限性の使い方の
> 一つです. 後, σ-有限でないと, 完全加法的な有限加法的
> 測度の測度への拡張は一意でないかも知れないとか,
> Radon-Nikodym の定理は成立しないかも知れない,
> といったところでしょうか.

ありがとうございます。Radon-Nikodymの定理,調べてみたいと思います。


>> これ「④ f arbitrary ∫|f|dμ<∞, f^+(x)=max{f(x),0}≧0.
>> f^-(x)min{-f(x),0}≧0 」は正しくは
>> 「④ f arbitrary ∫|f|dμ<∞, f^+(x)=max{f(x),0}≧0.
>> f^-(x)=max{-f(x),0}≧0」でしょうか?
> 当然そうですね.

ありがとうございます。納得です。