いつも大変お世話になっています。

プリントからの問題です。ルベーグ積分の定義を構築してみせよ。という問意でしょうか。

Show that the four-step approach to the construction of the Lebesgue
integral carries over to the situation of a σ-finite measure space.

下記は略解(?)らしいのですがどのように答えればいいのでしょうか?
①ではχ_E_kは特性関数だと思います。
そして単関数ψのcanomical form(標準形?)が一意的である事の主張だと思います。
でも単関数の積分の定義の前に特性関数の積分の定義をしなければ成らないのではないかと思います。。。
②は単関数でない一般の関数ψのルベーグ積分の定義だと思います。
非負関数なら単関数列が採れると言う意味でしょうか?
supp(f)の定義とそれの測度が有限と主張されてるようですがこれがどういう意味を持つのでしょうか?
あと,A_εの意味がよく分かりません。

③は何なのでしょうか。
一般の関数fの②以外でのルベーグ積分の定義の仕方でしょうか?

④は正負ごちゃまぜになった一般の関数のルベーグ積分の定義だと思います。多分。

あと,σ有限と言う条件は何処で必要なのでしょうか?

(X,M,μ)
① simple function ψ=Σ[k=1..N]a_kχ_E_k (a_k∈,M∋E_k:disjoint).
{c_1,c_2,…,c_m} are the values of ψ
ψ~=Σ[k=1..m]c_kχ_{x;ψ(x)=c_k}
ψ=Σ[k=1..m]c_kχ_F_k
canonical form.
∫ψdμ=Σ[k=1..n]c_kμ(F_k)
ψ,ψ~ simple function

② bounded nonnegative function with support of finite measure.
supp(f)={x∈X;f(x)≠0},μ(supp(f))<∞.
∃sequence (ψ_m)_{m∈N} of a simple function such that ψ↑f.
Want to show lim[m→∞]∫ψ_m exists
|∫_X ψ_m dμ-∫_X ψ_n dμ|=|∫_X (ψ_m-ψ_n) dμ|≦∫_X |ψ_m-ψ_n| dμ
=∫_A_ε ψ_m dμ+∫_{X-A_ε}|ψ_m-ψ_n|dμ≦εμ(X)+Cμ(X＼A_ε)
≦εμ(A_ε)+∫_{X＼A_ε} |ψ_m-ψ_n|dμ≦εμ(X)+∫_{X＼A_ε} |ψ_m-ψ_n|dμ
≦εμ(X)+Cε
(∵f is bounded f≦∃C/2. ψ_m≦f≦C/2. |ψ_m-ψ_n|≦|ψ_m|+|ψ_n|=ψ_m+ψ_n≦C)
∫fdμ=lim[n→∞]∫ψ_m dμ

③ f is nonnegative ∫fdμ=sup_{0≦g≦f} ∫gdμ  g are function from ②.
g:measurable

④ f arbitrary ∫|f|dμ<∞, f^+(x)=max{f(x),0}≧0.
f^-(x)min{-f(x),0}≧0
∫fdμ:=∫f^+dμ-∫f^-dμ


吉田京子