河野様,塚本様ご回答ありがとうございます。迚も参考になっています。

> ここまでは良いですね.

ありがとうございます。


>> (3)の解 ルベーグ積分の定義から ∫_R x^2dμ=lim[k→∞]∫_R {f_k}dμ {f_k}はx^2の
>> 定義関数列(detemining sequence) と書けるだと思います。 {f_k}はどのようにして見つければ
>> いいのでしょうか?
> k に関わらず,
>  f_k = (1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}}
> とすれば十分です. 1_{{1}} は {1} という集合の定義関数,
> 1_{{3}} は {3} という集合の定義関数です. ε > 0 について
> { x ∈ R ; |f(x) - f_k(x)| ≧ ε } ⊂ R ＼ {1, 3} の
> 測度は 0 です.

えーと,
0<∀ε∈Rに対してμ({x∈R;|f(x)-f_k(x)|≧ε})
=μ({x∈R;|x^2-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|≧ε})
=μ({x∈R;|x^2-(1・1_{{1}}(x)+9・1_{{3}}(x))|≧ε})

ここでx=1の時,|1^2-(1・1_{{1}}(1)+9・1_{{3}}(1))|=1^2-(1・1+9・0)=0
なのでx=1の時は{x∈R;|x^2-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|≧ε}=φ
でμ(φ)=0 (∵測度の定義)
x=3の時,|3^2-(1・1_{{1}}(3)+9・1_{{3}}(3))|=3^2-(1・0+9・1)=0
x=3の時も{x∈R;|x^2-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|≧ε}=φ
でμ(φ)=0
それ以外の時,
|x^2-(1・1_{{1}}(x)+9・1_{{3}}(x))|=x^2-(1・0+9・0)=x^2
なので

=μ({x∈R,x^2≦-εor ε≦x^2})
=μ({x∈R,x^2+ε≦0 or (x+ε)(x-ε)≧0})
=μ({x∈R;(x≦-√εまたは√ε≦x)且つ(x≠1,x≠3)})

でこれは測度0になるとは思えませんが…。
勘違いしてますでしょうか?


> 従って, f_k は f に測度収束します.

lim[k→∞]μ({x∈R;|x^2-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|≧ε})はx=1やx=3の時なら
確かに測度収束しますね。

L^1コーシーである事は
0<∀ε∈R,E∈Σに対して∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ=∫_E |((1)^2 1_{{1}} + (3)^2
1_{{3}})(x)-((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)|dμ
=∫_E |0|dμ=∫_E 0dμ=lim[n→∞]∫_E 0_n(x)dμ (但し,{0_n}は∀n∈Nに対し,0_n(x)=0となる0の
定義関数列)
=lim[n→∞]0・μ(E) (∵積分可能単関数列の積分の定義) =0
なので (1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}}は確かにL^1コーシー列。

取り合えず,(1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}}がf(x)=x^2の定義関数列なら
∫_R f(x)dμ=∫_R x^2dμ=lim[n→∞]∫_R ((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)dμ(∵
ルベーグ積分の定義)
=∫_R ((1)^2 1_{{1}} + (3)^2 1_{{3}})(x)dμ
=1・μ({1})+9・μ({3})+0・μ(R＼{1,3}) (∵可積な単関数の積分の定義)
=1・0+9・0+0・∞
=0+0+0 (∵0・∞=0?)
=0

で正しいでしょうか?
0・∞=0はどうして言えるのでしょうか?


>> (4)の解 ルベーグ積分の定義から ∫_R 1_Qdμ=lim[k→∞]∫_R {f_k}dμ
>> {f_k}は1_Qの定義関数列(detemining sequence) と書けるだと思います。
>> {f_k}はどのようにして見つければ
>> いいのでしょうか?
> k に関わらず,
>  f_k = g = 1_Q
> とすれば十分です.

0<∀ε∈Rに対してμ({x∈R;|f(x)-f_k(x)|≧ε})
=μ({x∈R;|1_Q(x)-1_(Q)(x)|≧ε})
=μ({x∈R;|0|≧ε})
=μ(φ)=0 (∵測度の定義)
よって
lim[k→∞]μ({x∈R;|f_k(x)-f(x)|≧ε})=lim[k→∞]μ(φ)
=lim[k→∞]0=0.

で確かに測度収束しますね。

L^1コーシーである事は
0<∀ε∈R,E∈Σに対して∫_E |f_m(x)-f_n(x)|dμ=∫_E |1_Q(x)-1_Q(x)|dμ
=∫_E |0|dμ=∫_E 0dμ=lim[n→∞]∫_E 0_n(x)dμ (但し,{0_n}は∀n∈Nに対し,0_n(x)=0となる0の
定義関数列)
=lim[n→∞]0・μ(E) (∵積分可能単関数列の積分の定義) =0
なので 1_QはL^1コーシー列

以上より,1_Qはg(=1_Q)の定義関数列になっています。

よってルベーグ積分値を求めてみます。
1_Qがg=1_Qの定義関数列なので
∫_R gdμ=∫_R 1_Qdμ=lim[n→∞]∫_R 1_Q(x)dμ(∵ルベーグ積分の定義)
=1・μ(Q)+0・μ(R＼Q) (∵可積な単関数の積分の定義)
=1・0+0・(μ(R)-μ(Q)) (∵測度の定義(可算加法性))
=0+0・(∞-0)
=0+0・∞
=0+0 (∵0・∞=0?)

で正しいでしょうか?