測度空間(R,B(R),μ)でf(x)=x^2の時,∫_R fdμを計算せよ
再度の質問をお許しください。
測度論で難儀しています。
測度空間(R,B(R),μ)を考えよ(B(R)はボレル集合体)。
(但しμ=5δ_1+δ_3,
δ_x:B(R)→{0,1}で
B(R)∋Eに対し,δ_x(E)=0(x∈Eでない時),1(x∈Eの時))
(1) μは有限測度?
(2) μ([-2,3))を計算せよ。
(3) もしf(x)=x^2なら∫_R fdμ (但し,Rは実数体)を計算せよ。
(4) もしg=1_Q (但し1_Qは特性関数,x∈Qなら1,x∈Qでないなら0)の時,∫_R gdμを計算せよ。
(1)の解
有限測度の定義はμ(R)<∞ですからμ(R)=(5δ_1+δ_3)(R)
=5δ_1(R)+δ_3(R)=5・1+1(∵1,3∈Rなのでδ_xの定義) <∞
よってμは有限測度。
(2)の解
μ([-2,3))=(5δ_1+δ_3)([-2,3))
=5δ_1([-2,3))+δ_3([-2,3))
=5・1+0 (∵1∈[-2,3),3は[-2,3)に含まれない)
=5
(3)の解
ルベーグ積分の定義から
∫_R x^2dμ=lim[k→∞]∫_R {f_k}dμ
{f_k}はx^2の定義関数列(detemining sequence)
と書けるだと思います。
{f_k}はどのようにして見つければいいのでしょうか?
(4)の解
ルベーグ積分の定義から
∫_R 1_Qdμ=lim[k→∞]∫_R {f_k}dμ
{f_k}は1_Qの定義関数列(detemining sequence)
と書けるだと思います。
{f_k}はどのようにして見つければいいのでしょうか?
因みに,
測度収束の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)において,E∈Σでf_n,fはΣ可測関数でf_nはa.eで有限値をとる。0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|
f_n(x)-f(x)|≧ε})=0の時,{f_n}はfに測度収束すると言う」
単関数の積分の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)でE∈Σとし,f=Σ[i=1..n]a_i1_{E_i}
(但し,a_i∈R,E_1,E_2,…,E_nは互いに素,1_E_iは特性関数,つまり1_E_i(x)=1(x∈E_iの時),0(x∈E_iで
ない時))
という形に表される時,∫_E f(x)dμ=Σ[i=1..n]a_iμ(E_i)で定義する」
L^1コーシー列の定義は
「測度空間(Ω,Σ,μ)でE∈Σとし,‖‖を‖f‖:=∫_E|f(x)|dμ(ただしfは単関数)と定義するとこの‖‖はノルムをなす。
このノルム‖‖をL^1ノルムと言う。
積分可能な単関数列{f_n}が0<∀ε∈R,∃M∈N;M<m,n⇒‖f_m-f_n‖<εを満たす時,
{f_n}をL^1コーシー列という」
定義関数列{f_n}の定義は
「{f_k}が積分可能なL^1コーシー単関数列,でf_nはfに測度収束)する時,
{f_k}をfの定義関数列という」
です。どうかご教示ください。m(_ _)m
吉田京子
Fnews-brouse 1.9(20180406) -- by Mizuno, MWE <mwe@ccsf.jp>
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