On 11月26日, 午後12:31, chi...@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) wrote:
> 工繊大の塚本と申します.
>
> In article <67eaa497-f2e7-4f84-93ea-e65b7e33a...@15g2000prz.googlegroups.com>
>
> kanpro <murak...@softcube.co.jp> writes:
> > ｎを２以上の自然数とし、n 個の文字 x1, x2,...,xn に関する有理式
>
> > f(x1,x2,...,xn)
>
> >    n   n
> > = Σ  Π      1/(xi-xj)
> >   i=1 j=1,j≠i
>
> > を考えます。n=2,3,4 に対しては   f(x1,x2,...,xn)=0   となるのですが、
> > 一般のｎに対しても成立するのでしょうか？
>
> 成立します.
>
>            n
>  W_{in} = Π      1/(xi - xj)
>           j=1,j≠i
>
> は Vandermonde の行列 V の逆行列 W の (i, n)-成分になります. 実際,
>
>  V = [[  1          1        …   1       ],
>       [ x1         x2        …  xn       ],
>       [(x1)^2     (x2)^2     … (xn)^2    ],
>         …         …        …  …
>       [(x1)^{n-1} (x2)^{n-1} … (xn)^{n-1}]]
>
> の行列式が差積     Π   (xj - xi) になることから,
>                1≦i<j≦n
>  V の逆行列 W の (i, n)-成分 W_{in} は容易に計算できます.
>
> 行列の積 V W = E (単位行列) となることから, 一般に,
>
>    n          n
>   Σ  (xi)^k Π      1/(xi - xj) = 0  (0 ≦ k ≦ n-2)
>   i=1        j=1,j≠i
>
> であり,
>
>    n              n
>   Σ  (xi)^{n-1} Π      1/(xi - xj) = 1
>   i=1            j=1,j≠i
>
> であることが導かれます. もう少し頑張ると,
>
>    n          n                     n
>   Σ  (xi)^n Π      1/(xi - xj) = Σ xi
>   i=1        j=1,j≠i              i=1
>
> であることも示せます.
> --
> 塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
> Tsukamoto, C. : chi...@kit.ac.jp


塚本様
ありがとうございました。

状態 i の持続確率が、時間 t の関数 exp(-xi t) で与えられるとき、状態 i → i+1 →... → j の遷移が一定時間内に
起こる確率を求める

という過程で出くわした問題でした。


村上　明＠ソフトキューブ株式会社
mu...@softcube.co.jp