Re: 恒等式

工繊大の塚本と申します.

In article <67eaa497-f2e7-4f84-93ea-e65b7e33a293@15g2000prz.googlegroups.com>
kanpro <murakami@softcube.co.jp> writes:
> ｎを２以上の自然数とし、n 個の文字 x1, x2,...,xn に関する有理式
> 
> f(x1,x2,...,xn)
> 
>    n   n
> = Σ  Π      1/(xi-xj)
>   i=1 j=1,j≠i
> 
> を考えます。n=2,3,4 に対しては   f(x1,x2,...,xn)=0   となるのですが、
> 一般のｎに対しても成立するのでしょうか？

成立します.

           n
 W_{in} = Π      1/(xi - xj)
          j=1,j≠i

は Vandermonde の行列 V の逆行列 W の (i, n)-成分になります. 実際,

 V = [[  1          1        …   1       ],
      [ x1         x2        …  xn       ],
      [(x1)^2     (x2)^2     … (xn)^2    ],
        …         …        …  …
      [(x1)^{n-1} (x2)^{n-1} … (xn)^{n-1}]]

の行列式が差積     Π   (xj - xi) になることから,
               1≦i<j≦n
 V の逆行列 W の (i, n)-成分 W_{in} は容易に計算できます.

行列の積 V W = E (単位行列) となることから, 一般に,

   n          n
  Σ  (xi)^k Π      1/(xi - xj) = 0  (0 ≦ k ≦ n-2)
  i=1        j=1,j≠i

であり,

   n              n
  Σ  (xi)^{n-1} Π      1/(xi - xj) = 1
  i=1            j=1,j≠i

であることが導かれます. もう少し頑張ると,

   n          n                     n
  Σ  (xi)^n Π      1/(xi - xj) = Σ xi
  i=1        j=1,j≠i              i=1

であることも示せます.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp