工繊大の塚本です.

2015年11月14日土曜日 5時04分57秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> > リーマン面のここでの構成が「標準的」であるというわけでは
> > ありませんから, 0 だの 1 だのと書いても誰も理解しないでしょう.
> > それだけのことです.
> 
> なるほとです。どうしても区別したい場合は通常どのような表記法を用いるのでしょうか?

リーマン面の構成を書いて, その上での1価正則な関数を考えると
書けば良いでしょう.

> √'-i=√'(-i,0) (∵根号前にマイナスが着いてないので)
> =(√|-i|,arg(-i)/2)=(1,-π/2/2)=(1,-π/4)=1/√2-i/√2,

複素変数の \sqrt の関数は通常2価だと考えるでしょう.
 \sqrt{-i} = { (1+i)/\sqrt{2}, - (1+i)/\sqrt{2} }
 
> √'-1=√'(-1,0) (∵根号前にマイナスが着いてないので)
> =(√|-1|,arg(-1)/2)=(1,π/2)=i

 \sqrt{-1} は複素数で2乗すると -1 となるものの1つを i と書き表すときの
 i のこととして書くことがあります. そうでなく,
複素変数の \sqrt の関数の -1 における値とするなら { i, -i }.

> と言った具合に平方根が求まるのですね。

どちらとも決まりません.

> 立方根[3]√',n乗根[n]√',対数ln'については
> 
> [3]√':(C＼{0})×{0,1,2}→C＼{0};[3]√':=p○h;
> (C＼{0})×{0,1,2}∋→∀(z,0)→h(z,0):=([3]√|z|,arg(z)/3),
> (C＼{0})×{0,1,2}∋→∀(z,1)→h(z,1):=([3]√|z|,(arg(z)+2π)/3),
> (C＼{0})×{0,1,2}∋→∀(z,1)→h(z,1):=([3]√|z|,(arg(z)+4π)/3).
> 
> [n]√':(C＼{0})×{0,1,…,n-1}→C＼{0};[n]√':=p○h;
> (C＼{0})×{0,1,…,n-1}∋→∀(z,0)→h(z,0):=([n]√|z|,arg(z)/n),
> (C＼{0})×{0,1,…,n-1}∋→∀(z,1)→h(z,1):=([n]√|z|,(arg(z)+2π)/n),
> :
> (C＼{0})×{0,1,…,n-1}∋→∀(z,n-1)→h(z,n-1):=([n]√|z|,(arg(z)+2(n-1)π)/n). 
> 
> でいいのですよね?

一々リーマン面の構成を書いておけば, そういうことでも良いでしょう.

> 対数に就いては
> ln'( ):(C＼{0})×{0,1,…}→C＼{0};ln':=p○h;
> (C＼{0})×{0,1,…}∋→∀(z,0)→h(z,0):=(ln|z|,???),
> (C＼{0})×{0,1,…}∋→∀(z,1)→h(z,0):=(ln|z|,???),
> :
> 
> の???はどのように書けるのでしょうか? 

対数関数のリーマン面を考えるなら,
定義域は C \setminus {0} の自然数や非負の整数で区別したコピーを
用意するのではなく, 整数で区別したコピーを用意するものでしょう.
 C \setminus {0} の z の偏角を, 例えば - \pi < arg z \leq \pi で
与えるとき, n \in Z で区別されたコピーについては
 log z = log |z| + i (arg z + 2 n \pi)
とすることになります. 
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp