工繊大の塚本と申します.

2015年10月28日水曜日 10時20分23秒 UTC+9 Kyoko Yoshida:
> 複素数での平方根についての疑問です。

 z = w^2 となる w のことですね.
 w = z^{1/2} のリーマン面とは,
 "z" の棲んでいる所です.

> h:(C＼{0})×{0,1}→(R+)×(-π,3π]
> h(z,0)=(|z|,arg(z)),(ただしarg(z)はz=|z|e^{i*arg(z)}で,-π<arg(z)≦πとなるもの)
> h(z,1)=(|z|,arg(z)),(ただしarg(z)はz=|z|e^{i*arg(z)}で,π<arg(z)≦3πとなるもの)
> と定義すると h(z,0)とh(z,1)の0と1は一枚目のリーマン面と二枚目のリーマン面に相当。

 z \in (C \setminus {0}) \times {0, 1} と考えるのは良いですが,
それの極形式表示をわざわざ分ける必要はないでしょう.

> z=w^2なるwを√'zと(実数での√と区別して)表記し
> (√':C＼{0}→h(z,0)∪h(z,1),-π<Arg(z)≦π),

これは話が逆です.

> √'z:=(√|z|,Arg(z)+[(Arg(z)+π)/(2π/2)]π)∈h(z,0)∪h(z,1)

意味不明です. w = z^{1/2} は複素数でしょう.
 R^+ \times (- \pi, 3\pi) に値を取らせてはいけません.

> 但し,[ ]はガウスの記号.
> と定義するのですよね。

違います.
例えば,
 (z, 0) に対しては w^2 = z となる w で
 0 \leq \arg w < \pi となるものを対応させ,
 (z, 1) に対しては w^2 = z となる w で
 \pi \leq \arg w < 2 \pi となるものを対応させて,
 (C \setminus {0}) \times {0, 1} から C \setminus {0} への
写像を作るのです.
 z \in (C \setminus {0}) に対して,
 (z, 0) の像 w を考えるか,
 (z, 1) の像 w を考えるか, によって,
 w = z^{1/2} が 2 つあることになります.
# (C \setminus {0}) \times {0, 1} は連結になるように繋いでおく
# 必要がありますが.

もう一度お考えください.
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塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp