ご回答どうも有難うございます。



>>>  R×R の可測集合の全体は Σ×Σ ではありません.
>> 一般の測度空間(Ω_1,Σ_1,μ_1),(Ω_2,Σ_2,μ_2)でなら
>> Ω_1×Ω_2の可測集合全体は
>> Σ_1×Σ_2:={A×B;A∈Σ_1,B∈Σ_2}と書けるのですね。
> そんなことはありません. 普通 A_1×B_1 ∪ A_2×B_2 は
>  A×B の形をしていません.

A=A_1∪A_2,B=B_1∪B_2でA_1=B_1={0},A_2=B_2={1}の場合
A_1×B_1={(0,0)},A_2×B_2={(1,1)}なので
A_1×B_1 ∪ A_2×B_2={(0,0),(1,1)}≠{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}=A×B
なので仰る通りですね。


> Σ_1×Σ_2 では σ加法族に
> ならないのです.

Σ_1×Σ_2={(A,B);A∈Σ_1,B∈Σ_2}もΣ_1×Σ_2={A×B;A∈Σ_1,B∈Σ_2}もσ加法族にはならないのですね。
憶えて置きます。


>  Ω_1×Ω_2 の可測集合全体を Σ_1×Σ_2 から生成される
>  σ加法族にするか, 更にそれを完備化したものにするか, は
> 必要に応じてどちらでも有り得ます.

(Ω_1,Σ_1,μ_1),(Ω_2,Σ_2,μ_2)からΩ_1×Ω_2を測度空間に仕立て上げたい時には
Ω_1×Ω_2のσ集合体としてσ(Σ_1×Σ_2)を採り,(Ω_1×Ω_2,σ(Σ_1×Σ_2),μ_1×μ_2)
(但し,(μ_1×μ_2)(A×B):=μ_1(A)μ_2(B) (A∈Σ_1,B∈Σ_2))や
{(E_1×E_2)∪(Z_1×Z_2);E_1×E_2∈σ(Σ_1×Σ_2),Z_1×Z_2⊂E_1×E_2∈σ(Σ_1×Σ_2),
(μ_1×μ_2)(E_1×E_2)=0}
が採れるのですね。


> 後は宜しいかと存じます.

どうもありがとうございます。