たびたびすいません。


f(x,y)をR×Rでルベーグ可測な非負関数とする。次の真偽を判定せよ。

(1) 各y∈Rに対し,x|→f(x,y)はRでルベーグ可測である。
(2) y|→∫_Rf(x,y)dxはRでルベーグ可測である。
(3) ∫_R(∫_Rf(x,y)dx)dy=∫_R^2 f.
(4) ∫_R^2 f < ∞.

[(1)の解]
真?

Σ:={E⊂R;inf{m^*(U＼E);E⊂∃U∈T}=0} (但し,TはRの通常の位相)とすると(つまり,Σはルベーグ集合体)
Σ×Σ:={A×B;A,B∈Σ}と書け,題意(f(x,y)はR×Rでルベーグ可測)より
∀r∈R,{(x,y);f(x,y)>r}∈Σ×Σと言える。
よってx|→f(x,y)をgとすると,{x∈R;(f(x,y)=)g(x)>r}∈Σ.
が言えればいいのですがどうれすば言えますでしょうか?

[(2)の解]
真?
(1)と同様にy|→∫_Rf(x,y)dxをgとすると,{y∈R;(∫_Rf(x,y)dx=)g(y)>r}∈Σ.
が言えればいいのですがどうれすば言えますでしょうか?

[(3)の解]
真?
題意より,fがΣ×Σ可測で非負関数なのでfがルベーグ積分可能ならFubiniの定理より。
従って(4)が真ならば(3)も真となる。

[(4)の解]
真?
これはどうすれば言えますでしょうか?


吉田京子