ご回答大変有難うございます。

>> Z_p上既約なので
> x^2 + x + 1 が Z_p 上既約なら, Z_p[x]/(x^2 + x + 1) は
> α を α^2 + α + 1 = 0 を満たすものとして,
> Z_p + Z_p α に環としての構造を入れたものが体となり,
> 話はお仕舞いです.

{u+vα ; u,v∈Z_p }に自然な和・積を入れたものですね。

>> α,βはZ_pの元ではありません。 βはαの共役と呼ばれます。
> Z_p + Z_p α においては x^2 + x + 1 は
> x^2 + x + 1 = (x - α)(x + α + 1) と
> 因数分解されますから,

(x-α)(x+α+1)=x^2+αx+x-αx-α^2-α=x^2+x-α^2-α=x^2+x+1
(∵今,αはx^2+x+1=0の解なのでα^2+α+1=0で-α^2-α=1)なのですね。

> β =-α-1 ですが,

そうですね。上の因数分解からβはそのように書けますね。

> u + v α = u - v + (-v)(-α-1) = (u - v) + (-v) β
> で, Z_p + Z_p α も Z_p + Z_p β も同じです.

{u+vα ; u,v∈Z_p}={(u-v)+(-v)(-α-1) ;u,v∈Z_p}
={(u-v)+(-v)β ;u,v∈Z_p}
={u+vβ ;u,v∈Z_p}となるので同じ事なのですね。

>> 体Z_p上既約な2次多項式で共役な元を解に持つような
>> 2次多項式って 存在しないのでしょうか?
> そりゃあ, 分解体での残りの解が共役な元ですが,
> ここでそれを考えることにさして意味はありません.

了解いたしました。

>> p=11の時,既約です。余り1 p=13の時,(x-3)(x+4)で可約です。
>> p=17の時,既約です。余り1 p=19の時,(x-7)(x+8)で可約です。
>> p=23の時,既約です。余り1 p=29の時,既約 です。余り,1 となりましたが,,何か法則があるのでしょうか?
> だから, 既に説明したように, x^2 + x + 1 が
> x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 を割り切るときは
> 可約で, 割り切らないときは既約です.

ああ,やっと意味が分かりました。
>> p=12の時,既約 p=13の時,(x-3)(x+4) p=14の時,既約
>> p=15の時,既約 p=16の時,既約 p=17の時,既約 p=18の時,既約 p=19の時,(x-7)(x+8)
>> p=20の時,既約
>> となりましたが,
> p は素数の場合だけが問題となっています. p = 12, 14, 15, 16, 18, 20
> の場合は考慮外です.

了解いたしました。
p=11の時,既約です。余り1
p=13の時,(x-3)(x+4)で可約です。
：
p=47の時,既約,余り1
p=53の時,既約,余り1
：

より,x^2+x+1はp=2,5,11,17,23,29,41,47,53,…の時が既約多項式になるのですね。
その時がZ_p/(f(x))〜{u+vα;u,v∈Z_p}となるのですね。

> 51 = 3 * 17 で 51 は素数ではありません.
> 57 = 3 * 19 で 57 は素数ではありません.

そうでした。これは失礼いたしました。

>> となりましたが。。何か法則があるのでしょうか?
> 素数 p が 3 で割っていくつ余るときに,
> x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 は x^2 + x + 1 で
> 割り切れますか.

p=2,5,11,17,23,29,41,47,53,…を3で割ると夫々の余りは
2,2,2,2,2,2,2,2,2,…
となりますね。
よってp≡2(mod3)の時がf(x):=x^2+x+1はZ_pで既約でZ_p/(f(x))〜{u+vα;u,v∈Z_p}となるのですね。
どうしてp≡2(mod3)の時がf(x):=x^2+x+1はZ_pで既約となるのでしょうか?