ご回答大変有難うございます。


> そこで, 「 Hint Use the fact that (Z_p＼{0},・) is cyclic. 」
> というわけです.
> p が 3 より大きい素数のときは, f(1) ≠ 0 ですから,

p=2の時はx=1でもf(x)≠0,p=3の時はf(1)=3≡0,f(2)=4+2+1=7≠0.
p=5の時はf(1)=3≠0,f(2)=7≠0,f(3)=13≠0,f(4)=21≠0ですね。
p>3なる素数なら必ず,f(x)≠0となる事はどうすれば分かるのでしょうか?

> Z_p の 0, 1 以外の元を a_1, a_2, ... , a_{p-2} とすると,
> x^2 + x + 1 が (x - b_1)(x - b_2) のように可約となるのは,
> x^2 + x + 1 | (x - a_1)(x - a_2)…(x - a_{p-2}) の
> ときですが,

これはそうですね。

> (x - a_1)(x - a_2)…(x - a_{p-2})
> = x^{p-2} + x^{p-3} + … + x + 1 です.

これは知りませんでした。展開してもシンプルになるんですね。

> # Z_p の 0 以外の元は x^{p-1} = 1 の解です.

これはそうですね。xに0以外の元を代入してp乗すれば1になりますね。

> # x^{p-1} - 1 = (x - 1)(x^{p-2} + x^{p-3} + … x + 1) に
> # 注意します.

なるほど。このように書けますね。

> いつ割り切れるか, を考えた後,

x^{p-1}-1はx-1,x-a_1,x-a_2,…,x-a_{p-2}で割り切れますね。

> それぞれの場合に
> Z_p[x]/(x^2 + x + 1) がどうなるか, を考える
> ことになります.

Z_p[x]/(x^2+x+1)={f(x)(x^2+x+1);f(x)∈Z_p[x]}ですよね。これからどのようにすればいいのでしょうか?