遅くなりましてすいません。
漸く分かってきました。
塚本様が仰って来た事を繰り返し述べてるだけかも知れませんが、、、


> 先ず, 最初に申し上げました通り, 問題の書き方が
> 間違っています.
:
> 最大の勘違いは, 一般にテンソル積 U(×)V がどんな
> 元の集まりであるか, についてだと思います. もう一度
> お考え直し下さい.

[命題1] U,V,WがF上の線形空間でψ:U×V→Wを双線形空間とすると,
線形写像Ψ:span(U×V)→Wを∀(u,v)∈U×Vに対し,
ψ(u,v)=Ψ(u,v)と決めるとΨは一意的である(∵略)。
[命題2] 更にT=span{(u_1 + u_2, v) - (u_1, v) - (u_2, v)  (u_1, u_2 ∈ U, v
∈ V)
  (u, v_1 + v_2) - (u, v_1) - (u, v_2)  (u ∈ U, v_1, v_2 ∈ V)
  (αu, v) - α(u, v)  (α ∈ F, u ∈ U, v ∈ V)
  (u, αv) - α(u, v)  (α ∈ F, u ∈ U, v ∈ V) }
に対し,T⊂KerΨならばf:U(×)V→Wを
∀(u,v)∈U×Vに対し,
f(u(×)v)=Ψ(u,v)と決めるとfは線形で一意的である(∵略)。

以上を踏まえた上で
今,ψ:(V(+)V)×V^*→Fを
(V(+)V)×V^*∋∀(v_1+v_2,g)→ψ(v_1+v_2,g)=g(v_1)+g(v_2)と定義すると
ψは双線形写像をなし(∵略),
線形写像Ψ:span((V(+)V)×V^*)→Fを
(V(+)V)×V^*∋∀(v_1+v_2,g)に対しては
Ψ(v_1+v_2,g)=ψ(v_1+v_2,g)と決めると,
Ψは一意的であり(∵命題1),
更にT=span{(u_1 + u_2, v) - (u_1, v) - (u_2, v)  (u_1, u_2 ,v∈V)
  (u, v_1 + v_2) - (u, v_1) - (u, v_2)  (u , v_1, v_2 ∈ V)
  (αu, v) - α(u, v)  (α ∈ F, u,v ∈V)
  (u, αv) - α(u, v)  (α ∈ F, u,v∈V) }
⊂KerΨなので(∵証明済み),
f:(V(+)V)(×)V^*→Fを∀(v_1+v_2,g)∈(V(+)V)×V^*に対し,
f((v_1+v_2)(×)g)=Ψ(v_1+v_2,g)と決めるとfは線形で一意的である。
(∵命題2)
従って,題意のfは線形写像である。

で宜しいでしょうか?


吉田京子