ご回答誠に有難うございます。

>> でもΣ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞Σ_{d∈CD{GCD{f,g}}}からΣ_{d=1}^∞Σ_{d|f}Σ_{d|g}
>>
>>  と順序を換えれる
>> は何故なのでしょうか?
> 絶対収束級数では項の順序や組わけの仕方によらず和の値が定まる,
> ということと,

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_24.jpg
にてΣ_{d=1}^∞ |Φ_s(d)|∈Rとなるのはどうしてなのでしょうか?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> という具合で宜しいでしょうか?
> はい.
>> ζ(s)Σ_{d=1}^∞Σ_{d|f}Σ_{d|g}(f/d)^{α-s}(g/d)^{β-s}d^{α+β-2s}Φ_s(d)
>> =ζ(s)Σ_{d=1}^∞Σ_{f'=1}^∞Σ_{g'=1}^∞f'^{α-s}g'^{β-s}d^{α+β-2s}Φ_s(d)
>>
>>  にて d|fからf'=1、d|gからg'=1とどうして書き換えれるのでしょうか?
>> (理由付けを試みましたが途中で??になってしまいました)
> 自然数 d に対して d|f となる自然数 f というのは
> d, 2d, 3d, \dots, f'd, \dots, の全体でしょう.
> f = f'd, f' = f/d とすれば,
> f' が任意の自然数を動いていくのは当然です.

納得です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> という理由付けはやはりお門違いでしょうか?
> 同じことでしょう.

了解です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> でいいのでしょうか?
> はい.
>> 理由付けがいまいちよく分かりません。
> どの部分が分かりませんか.

=(N＼{0})^3の部分でしたが解決できました。

>>> なお収束の理由付けの部分も, \prod_{p: prime, p|d} (1 - p^{-s}) に
>>> 絶対値を付け忘れているので, 理由付けにはなっていません.

1-p^-sはs∈Cなので常に正とは限らないのですが。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> えっ? Σ_{d=1}^∞d^sΠ_{p|d}|1-p^-s|と絶対値を付けておりますが、、、
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
> の4行目以降では付いていません.

それなら
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_25.jpg
ではいいでしょうか?

>>> 正しくは,
>>> \zeta(s) \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d|(f, g)}
>>> f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \phi_s(d)
>>> = \zeta(s) \sum_{d=1}^\infty \sum_{d|f} \sum_{d|g}
>>> f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \phi_s(d)
>>> であり, の理由は
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> で宜しいのでしょうか?
> はい. ちゃんと理解して下さい.

はい。了解です。

>>>  = \zeta(s) \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
>>>  f'^{\alpha-s} g'^{\beta-s} d^{\alpha+\beta-2s} \phi_s(d)
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> という理由でいいんでしょうか?
> はい. ちゃんと理解して下さい.

はい。了解です。

>>> 一番いけないのは, |1 - p^{-s}| を 1 - p^{-Re(s)} としているところです.
>>> 言えるのは |1 - p^{-s}| \leq 1 + p^{-Re(s)} でしかないことを
>>> 御確認下さい.
>> Σ_{d=1}^{α+β-s}Π_{p|d}|1-p^-s|(∵def of Φ)
>> =Σ_{d=1}^∞ d^{α+β-s}Π_{p|d}(1-p^-Re(s))
>> ≦Σ_{d=1}^∞ d^{α+β-s}Π_{p|d}(1+p^-Re(s))
>> でいいのですよね?
> だから, |1 - p^{-s}| は 1 - p^{-Re(s)} とは違います.

えっ。そうだったのですか!?
すると
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_25.jpg
は間違いですね。

> |1 - p^{-s}|
>  = |1 - p^{- Re(s) - i Im(s)}|
>  = |1 - p^{-Re(s)} (cos(Im(s)) - i sin(Im(s)))|
> ですから,

すいません。この変形はどのようにするのでしょうか?

> 例えば, Im(s) = \pi であれば,
> |1 - p^{-s}| = |1 + p^{-Re(s)}| = 1 + p^{-Re(s)} になります.

これはそうですね。
一般の場合,Im(s)≠\piの場合はどうしたらいいのでしょうか?

> (1 + p^{Re(\alpha+\beta-2s)})
>  = (1 - p^{2 Re(\alpha+\beta-2s)})
>     / (1 - p^{Re(\alpha+\beta-2s)})
> だから, \prod_{p: prime} (1 - p^{2 Re(\alpha+\beta-2s)}) と
> \prod_{p: prime} (1 - p^{Re(\alpha+\beta-2s)}) が収束していれば,
> \prod_{p: prime} (1 + p^{Re(\alpha+\beta-2s)}) も収束します.

なるほど。納得です。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> という風になったのですがこれでいいのでしょうか?
> 駄目です. 先ず, 2行目から3行目への書き換えで,
> 各素数 p について掛け合わされる項は
> (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{j=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) j})
> であって,
> (1 + (1 - p^{-s})) \sum_{j=1}^\infty p^{(\alpha+\beta-s) j}
> ではありません.

そうでした。失礼いたしました。

>> 3箇所はどのように理由付けできますでしょうか?

一つ目は解決できました。
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_26.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_27.jpg

> 上の間違いを直してもう一度お考え下さい.
> 説明は以下の通り, 既に前の記事にあります.

えっ,何処でしょうか?

逆算してみたのですが
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_28.jpg
ζ(s)ζ(s-α)ζ(s-β)lim_{r→∞}Σ_{{e_1,e_2,…,e_r}⊂N^r}(1+(1-p_1^-
s))p_1^{e_1(α+β-s)})
}(1+(1-p_2^-s))p_2^{e_2(α+β-s)})…}(1+(1-p_r^-s))p_r^{e_r(α+β-s)})
=ζ(s)ζ(s-α)ζ(s-β)lim_{r→∞}((1-p_{i_1})^-s)p_1^{e_1(α+β-s)}))
(1-p_{i_2})^-s)p_2^{e_2(α+β-s)}))…(1-p_{i_2})^-s)p_1^{e_1(α+β-s)}))
}(1+(1-p_2^-s))p_2^{e_2(α+β-s)})…(1+(1-p_r^-s))p_r^{e_r(α+β-s)})

となる事がどうしてもわかりません。どうしてこのように変形できるのでしょうか?

>> > 先にも述べたように,
>> > \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{e=1}^\infty p^{e t})
>> > の展開がどうなるか, から考えた方が良い. ここで
>> > t = \alpha + \beta - s としました.
>> > \prod_{p: prime} (1 + (1 - p^{-s}) \sum_{e=1}^\infty p^{e t})
>> >  = \lim_{r \to \infty}
>> >    \prod_{i=1}^r (1 + (1 - (p_i)^{-s}) \sum_{e_i=1}^\infty (p_i)^{e_i
>> > t})
>> > ですが, 最後の有限積の

最後の有限積とは
ζ(s)ζ(s-α)ζ(s-β)lim_{r→∞}Π_{i=1}^r (1+(1-p_i^-s)Σ_{e_i=1}^∞
p_i^{e_i(α+β-s)})
の事ですよね。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_29.jpg
という変形で宜しいでしょうか?

そして
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_30.jpg
となったのですがこれで正しいでしょうか?

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> まで何とか辿り着けましたが
> 全然駄目です. 特に3行目から4行目にかけての式は
> 全く意味不明です. 先ず,

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_32.jpg
では駄目でしょうか?

> \prod_{i=1}^r
>  (1 + \sum_{f_i=1}^{e_i} (1 - (p_i)^{-s}) (p_i)^{f_i s})
> を展開すれば,
> \sum_{d|n} d^s \phi_s(d)
>  = \sum_{f_1=0}^{e_1} \sum_{f_2=0}^{\e_2} \cdots \sum_{f_r=0}^{e_r}
：
> (p_1)^{s e_1} (p_1)^{s e_2} \cdots (p_r)^{s e_r} = n^s
> となって, 証明が完了するわけです.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_34.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_33.jpg
で宜しいでしょうか?

ただ
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_34.jpg
の一番下の??の箇所の理由付けが分かりませんでした。
どうしてこのように変形できるのでしょうか?