ご回答大変有難うございます。

>> 別の定義とはどのようなものでしょうか?
> いや, 普通に自然数全体と1対1の対応があるもの,
> とするところにはこの命題は要りませんから.

つまり,
「Aは可算
⇔(def)
AはNに対等」
という定義ならAとBが可算「A から B への単射があるか、または B から A への単射がある」
は明らかだと仰ってるのでしょうか?

>>> この命題が示せて 初めて意味を持つようになります.
>> つまり,「任意の二つの集合 A,B について、A から B への単射があるか、 または
>>  B から A への単射がある」 という命題を示す際には可算集合とかは考慮されていないのですね。
> 勿論です.

そうなんですか。。

>> うーん,それではどのようにして証明を進めればいいのでしょうか?
> だから, 方針を示したではないですか.

「 A の部分集合 A' と B の部分集合 B' との間の
全単射は, 積集合 A×B のある部分集合 C のことだと
：
証明されます.」

ですよね。つまり,
A'⊂A,B'⊂Bに対して,{f;f:A'→B':全単射かf:B'→A':全単射}
をM(A',B')とすると
M(A',B')≦M(A'',B'') ⇔(def) A'×B'⊂A''×B''
と定義するのでしょうか?
順序関係を満たすかチェックしてみますと
(i) M(A',B')≦M(A',B')は明らか。
(ii) M(A',B')≦M(A',B')∧M(A',B')≧M(A'',B'')ならM(A',B')=M(A'',B'')も明らか。
(iii) M(A',B')≦M(A'',B''),M(A'',B'')≦M(A''',B''')ならM(A',B')≦M
(A''',B''')も明らか。
と確かに順序関係が成り立ちますね。
任意のM(A',B')に対して,M(A',B')≦M(X,Y)なるものがあったとすると(但し,A'⊂X⊂A,B'⊂Y⊂B)

X=AかY=Bとなるので,証明終わりなのですね。
でも必ず,X=AかY=Bで∀M(A',B')≦M(X,Y)なるものが存在する事はZornのLemmaを使うのですね。

先ず,f;f:A'→B':全単射かf:B'→A':全単射となるA'とB'の存在はA'={a},B'={b}という適当な元a,bを採れば
明からにA'からB'への全単射が存在します。
次にM:={{f;f:A'→B':全単射かf:B'→A':全単射};A'⊂A,B'⊂B}とすると
Mは上記の≦について全順序集合をなし(∵上記の(i),(ii),(iii)より明らか)
MはMの鎖になっていて(∵MはMの部分集合で全順序をなしているから)
そして,このMは上界を持つ事が言えればZornのLemmaが使えるのですが
どうすれば上界を持つ事が言えるのでょうか?

>>> A の部分集合 A' と B の部分集合 B' との間の 全単射は,
>>> 積集合 A×B のある部分集合 C のことだと 考えられます.
>>> A×B の部分集合 C で, ある A' ⊂ A と ある
>>> B' ⊂ B の間の全単射を表すものの全体は 包含関係について順序集合となります.
>> つまり, {f;f:A'→B'は全単射}は
>> ψ(A',B'):={{(a,b)∈A'×B'};#{(a,b)∈A'×B'}=#A'#B'}と表せますね。

ψ(A',B'):={C,C⊂A'×B',(a,b)≠(a',b')∈Cなら,a≠a'∧b≠b'}と書くべきでした。

> ちゃんと言えば, A' ⊂ A, B' ⊂ B, f: A' → B' が全単射,
> なる組 (A', B', f) に対して,
>  C = ψ(A', B', f) = { (a, b) ∈ A×B | a ∈ A', b = f(a) ∈ B' } ⊂ A×B
> という A×B の部分集合を対応させます.

有難うございます。

>  逆に, C ⊂ A×B で,
>  (1). (a, b) ∈ C, (a, b') ∈ C ⇒ b = b'.
>  (2). (a, b) ∈ C, (a', b) ∈ C ⇒ a = a'.
> が成立する集合は, A' = { a ∈ A | ∃b ∈ B, (a, b) ∈ C },
> B' = { b ∈ B | ∃a ∈ A, (a, b) ∈ C } とし,
> a ∈ A' に対して, (a, b) ∈ C となる唯一つの b を f(a) と
> することにより, 全単射 f: A' → B' に対応します.

これは分かります。

>> そしてψ(A',B')≦ψ(A'',B'') ⇔(def) ψ(A',B')⊂ψ(A'',B'') と 定義するのですね。
> A', B' だけでは f: A' → B' は決まりませんから,
> ψ(A', B') という書き方は全く駄目です.

{f;f:A'→B'は全単射}はψ(A',B'):={{(a,b)∈A'×B'};#{(a,b)∈A'×B'}=#A'#B'}とは書けません
ね。

> ともあれ, (1), (2) を満たす C, C' ⊂ A×B に対して,
>  C ≦ C' ⇔ C ⊂ C'
> とするのはその通り.

これも分かります。

>> この時, ∀A'×B'⊂A×Bに対して
> だから, A'×B' では意味がない.

すいません。上記の(1),(2)を満たすCに於いて,C=A'×B'なるA'×B'でないといけないのですね。

>>> この命題はこの順序集合に極大元が存在することから 証明されます.
>> すいません。どのように証明するのでしょうか?
> まず為すべきことは, (1), (2) を満たす C ⊂ A×B 全体の
> 成す順序集合の全順序部分集合は A×B の中に上界を持つ,
> を示すことです.

もし上界が存在しないと仮定してみると,
∀C⊂A×Bに対して,C⊂∃D⊂A×B,,,,でこれからどうなりましょうか?

> 次に示すべきことは, Zorn's lemma で存在が保証される
> 極大元 C_0 について, A_0 = { a ∈ A | ∃b ∈ B, (a, b) ∈ C_0 },
> B_0 = { b ∈ B | ∃a ∈ A, (a, b) ∈ C_0 } とすると,
> A_0 = A 又は B_0 = B が成り立つことを示すことです.
> a_0 ∈ A＼A_0, b_0 ∈ B＼B_0 が存在すれば, C_0 が
> 極大ではないことから, 後者は簡単に示せます.

なるほど。確かにA_0 = A 又は B_0 = Bとならざる得ませんね。

> 前者も容易です.

そうですか。

そもそもこの命題は選択公理を利用して示すようなのですがどのように選択公理を利用すればいいのでしょうか?