ご回答誠に有難うございます。

>> という風に射影の逆像の共通部分が∩_{α∈A}π_α^-1(E_α)がΠ_{α∈A}E_αに
>> 等しくなるという事を示したかったのでした。
> 先ず, 貴方は「直積集合」を正しく定義できていない.
> 定義できていないものからの写像 π_α について何かを
> 言明することは無意味です.

すいません。
A(≠φ)を全順序集合とする場合,Aから領域C(集合の集合?)への写像fが取れる(∵選択公理)。
この時,A∋∀α→f(α):=E_α∈Cなるαによって決まるCの要素E_αが存在する(∵選択公理)。
この時,像f(A)を{E_α}_{α∈A}と書き,
更に∀α∈Aに対し,e_α∈E_αなるe_αが取れる写像gが取れる(∵選択公理)。
この時,g(A)を{e_α}_{α∈A}(={e_α;α∈A})全体からなる集合
{{e_α}_{α∈A};e_α∈E_α}(=g(A);gはAからE_αへの選択写像})を
Π_{α∈A}E_αと書く。
という定義になろうかと思います。

> 貴方の「直積集合」の「定義」が定義になっていないのは,
> 貴方が正しく超限帰納法を理解していないが為に,
> 貴方が正しく超限帰納法を使えていないからです.

そうでしたか。


>  n = { 0, 1, 2, ... , n-1 } に対して
>  Π_{i ∈ n} E_i が定義できている時に,
>  n+1 = { 0, 1, 2, ... , n-1, n } に対して
>  Π_{i ∈ n+1} E_i を
>  Π_{i ∈ n+1} E_i = (Π_{i ∈ n} E_i) × E_n で
> 定義することは可能ですが,
> # 但し, 二つの集合 A, B に対して, その直積集合 A × B の
> # 定義は別に与えてあるものとします.

この出発点となる定義は必ず要りますね。

> 超限帰納法では,
> 全ての n について Π_{i ∈ n} E_i が定義できている時に,
>  ω = { 0, 1, 2, ... , n, ... } に対して

このωは自然数の集合N∪{0}の事ではなくN∪{0}と順序同型な集合全体の事を指すのですね。

>  Π_{n ∈ ω} E_n が定義できることが要請されます.
>  Π_{n ∈ ω} E_n は,
> それまでに定義できている Π_{i ∈ n} E_i のどれかと
> 何かの E_k との直積という形では定義できません.

確かにこれはそうですね。

> 直積集合は, 正しくは,
>「添数集合」A から ∪_{α ∈ A} E_α への写像全体の集合

これをMap(A,∪_{α∈A}E_α)とすると

> の部分集合として定義されます. 実は, どんな部分集合か,

F⊂Map(A,∪_{α∈A}E_α)なる部分集合Fが直積集合という訳ですか。
えーと,このFはどのような部分集合かというと,
∀α∈Aに対してIm(F)∩E_αが単集合になるようなものですね。

> というところで, Π_{α ∈ A} E_α = ∩_{α ∈ A} (π_α)^{-1}(E_α)
> という式が意味を持つことになります.

ふーむ。難しいですね。

> だから, 「普通の直積集合の定義」を調べて下さい.
> ちゃんと π_α がどう定義されるかを調べて下さいね.

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/topology/direct_product_set0.jpg
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/topology/direct_product_set1.jpg
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/topology/direct_product_set2.jpg
を紐解いてみました。
つまり,Λを任意の集合とし,((A_λ)_{λ∈Λ}:=)A∈Map(Λ,X)とする(但し,Xは任意の集合)。
この時,{a∈Map(Λ,∪_{λ∈Λ}A_λ);∀λ∈Λ,a(λ)∈A(λ)}:=Bを
A∈Map(Λ,X)の直積集合といい,Π_{λ∈Λ}A_λと表す。

次にλ'∈Λに対して{a(λ')∈X;a∈B}を∪_{λ∈Λ}A_λからA_λ'への射影と言い,
proj_λ'で表す。

が正しい定義ですね。

>> 確認してみましたがこのように記述されてましたが。。
>> 他書には「x,yが集合なら{x,y}なる集合が一意的に存在する」とも記述されてました。
> いや, そうですが, 「対の公理」から「順序対」が定義できる
> 所は良いですが, それで保障されるのは,
> 順序対 (a_c', a_c) 自身が集合である事までで,

そうでしたか。

> それを「集めたもの」が集合になることは,
> 別に示す必要があります.
> その辺りの切り分けが出来ていないので, 一応心配しておきました.

ありがとうございます。
つまり,(a_c',a_c,a_c'',a_c''',…)が果たして集合になるかという事ですね。
もし有限組(a_c',a_c,a_c'',a_c''',…,a_c^(n))なら
対集合の公理と和集合の公理を繰り返し使えば(a_c',a_c,a_c'',a_c''',…,a_c^(n))が集合になる事は言えますよね。
でも無限組(a_c',a_c,a_c'',a_c''',…)が集合になる事は選択公理を使わないと集合である事が言えないのですね。

>> 他の流儀はどのように定義するのでしょうか?
> 「最小元に対しては成立する」ということが
> 条件にあることを明示しておく方が
> 初学者には親切でしょう.

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/topology/transfinite_induction0.jpg
は完全に間違いなのでしょうか?
(そもそもこの直積集合の添数集合は非可算で全順序と決め付けてしまってはいますが)

> # 論理的には必要ないにしても.

直積集合の定義は選択公理を使って定義してしまえば超限帰納法など持ち出す必要は無いのですね。

>> 対集合と超限帰納法を使って任意の添数集合の場合の直積集合を定義したいのです。
>「対集合は集合である」と「対集合の *ある種の* 集まりは
> 集合になる」とは違うことには注意して下さい.

これはつまり(a_c,a_c',…,a_c^(n))が集合になる事と(a_c,a_c',…)とが集合になる事とは意味が異なるという事でしょう
か?

> 超限帰納法では, 「極限基数」のところでどうなるか,

κが極限基数とは連続体仮説が仮定されてた時に
∀i∈N∪{0}に対して∃j∈N∪{0};アレフ_i<アレフ_j<κなる基数の事ですね
(但し,アレフ_0:=#N,アレフ_1:=#R,アレフ_2:=#(2^R),…とする)。

でもこのような基数が本当に存在するのでしょうか?

> が重要であることに注意して下さい.

すいません。どのように注意すればいいのでしょうか?

>>> この部分は普通の直積の定義を前提にしているような話と
>>> ごっちゃになっているような気がします.
>> うーん,任意の添数集合の場合での射影を定義したつもりでしたが
>> 何処が間違ってますでしょうか?
> ああ, なるほど, 良く読んでみると, 正しい直積集合の
> 定義については何も知らないと判断して良いようですね.
> じゃあ, 添削しておきますね.

誠に申し訳ありません。

> % その時,f∈Map(Λ,Map(Π_{λ∈Λ} A_λ, ∪_{λ∈Λ}A_λ));
> % Λ∋∀μ→f(μ) such that Π_{λ∈Λ} A_λ∋∀(a_λ) → f(μ)((a_λ)):=a_μと定義する。

どうも有難うございます。

> 最大の問題は, Π_{λ ∈ Λ} A_λ の元がどのように表現される
> 存在であるか, ということです.

{a∈Map(Λ,∪_{λ∈Λ}A(λ);∀λ∈Λ,a(λ)∈A(λ)}の元として表現されますね。


> 貴方の「定義」では (a_λ) 或いは (a_λ)_{λ ∈ Λ} と
> 書けるようにはできていません.
> 精々が何かの順序対ですね.
> その順序対から「 μ に対応する『成分』 a_μ 」というのが
> どのように取り出されるのか, のアルゴリズムが書かれていない以上,
> 何を定義したことにもなりません.

そのアルゴリズムとは
「f∈Map(Λ,Map(Π_{λ∈Λ} A_λ, ∪_{λ∈Λ}A_λ));
Λ∋∀μ→f(μ) such that Π_{λ∈Λ} A_λ∋∀(a_λ) → f(μ)((a_λ)):=a_μ」
となるのですね。

> 先程も言いましたように,
> 直積集合は「添数集合」Λ から ∪_{λ ∈ Λ} A_λ への写像の全体の
> 部分集合として定義します.

写像全体では写像全体の部分集合ですか。ここの部分集合のところがいまいち分からないのですが。
写像全体ではダメなのですよね。

>  そうしておけば,
> 直積集合の元 g とは Λ から  ∪_{λ ∈ Λ} A_λ への写像ですから,
> g の「 μ に対応する『成分』 a_μ 」を g(μ) で定義できます.
> だから, π_μ(g) = g(μ) が π_μ の定義なのです.

有難うございます。これはわかります。

>>http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/topology/transfinite_i...
>> のように訂正させていただきました。
> 思うに, 直積集合 Π_{α ∈ A} E_α は
>  ∩_{α ∈ A} (π_α)^{-1}(E_α) により「定義される」と
> 書いてあったのを, 「証明すべきこと」と
> 誤解したところから始まったことではないでしょうか.

直積集合はち射影を使っても定義されうるのですね。