工繊大の塚本です.

In article <3993934news.pl@rananim.ie.u-ryukyu.ac.jp>
Shinji KONO <kono@ie.u-ryukyu.ac.jp> writes:
> In article <121101180441.M0118946@ras1.kit.ac.jp>
> chiaki@kit.ac.jp (Tsukamoto Chiaki) writes:
# "\in" について:
> >  ZF を前提にするのですから, 定義は必要ありませんし,
> > 定義はありません.
# 一方:
> > 定義がなければ { x } が何を表すのか分かりません.
> 
> 定義がいるのか要らんのか、どっちなのか、わかりませんな。

 "\in" の方は１階述語論理で集合論を記述するときの
言語に要請される関係記号で, 無しには出来ませんが,
 { x } の方は, Axiom of pairing

  \forall v_0 \forall v_1 \exists v_2 \forall v_3
    [v_3 \in v_2 \leftarightarrow (v_3 = v_0) \lor (v_3 = v_1)]

で存在が保証される, v_0, v_1 に対する v_2 のことを
 { v_0, v_1 } と略記した時の, { x, x } の略記ですから,
全て省略せずに書くことにすれば「消せる」ものですね.
 
> 述語論理で、定義って何だろう? 構文規則のことか? 

省略記号には定義というか, 約束というか, がないと
困るでしょう.

 { x } を, "\in" がそうであるのと同じように,
「定義なし」に使えるようにしようとするなら,
どんな言語で集合論を記述するつもりなのか, から
始める必要がありますね.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp