工繊大の塚本です.

In article <jtndon$97b$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 確認なのですが
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/graph176.jpg
> ではγ_{ε_1}とγ_{ε_2}は夫々閉曲線ではなくて
> 点A,点B,点D,点Eで繋がって初めて
> γ_{ε_2}→D→E→γ_{ε_1}→A→Bと一回りで(単純)閉曲線となるのですよね。

はい. 単純閉曲線と考えるときには既に実軸の部分は
２つの別のシートの上にあると考えているわけですが.

> でも以前に
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/graph174.jpg
> のグラフはperameter表示すると
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__01.jpg
> という風に書けるとお伺いしたと思うのですが
> 実際に,ε(cos(εt(2π))isin(εt(2π))) (if 1/ε≦t≦2/ε)
> の部分ではt=1/ε,t=2/εを代入してみると
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_283__17.jpg
> という風に夫々ε(cos(2π)+isin(2π)),ε(cos(4π)+isin(4π))となり,
> ε(cos(2π)+isin(2π))=ε(cos(4π)+isin(4π))=ε(1+i・0)=ε
> となるので一回りして2葉目のシートに移ると思いきや実際には
> 元点に戻ってきてしまっていて

それは parameter 表示しているのは複素数平面上の曲線として
ですので, それらの点は重なっていて, 区別されません.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__01.jpg
> の円周部は開曲線となってしまってます。

開曲線と考えておけば良いのです.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop205_285__01.jpg
> でのγ_εとε(cos(εt(2π))isin(εt(2π))) (if 1/ε≦t≦2/ε)
> は異なる円周なのでしょうか? 

同じでしょう.
どちらにせよ, 複素数平面上の曲線ではなく,
原点で分岐したリーマン面の上に書かれた曲線と考えるときは
始点と終点が違うことに注意することになります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp