工繊大の塚本です.

In article <j0kl2j$suq$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> lim_{n→∞}exp(s(ln(n)-Σ_{k=1}^n 1/k))/(sΠ_{k=1}^n((1+s/k)exp(-s/k)))から

  \lim_{n \to \infty (\exp(s(\log n - \sum_{k=1}^n 1/k)) /
                      (s \prod_{k=1}^n ((1 + s/k) \exp(-s/k))))

> e^{slim_{n→∞(ln(n)-Σ_{k=1}^n 1/k)}sΠ_{k=0}^∞((1 + s/k) e^{-s/k})へ

  \exp(s \lim_{n \to \infty} (\log n - \sum_{k=1}^n 1/k)) /
  (s \prod_{k=1}^\infty ((1 + s/k) \exp(-s/k)))

> 変形できるでしょうか?

できます. 分母に極限が存在しますし, 指数関数は連続です.

> もとい,
> e^{\gamma s} z \prod_{k=0}^\infty ((1 + s/k) e^{-s/k})は　
               s \prod_{k=1}^\infty
> exp(s lim_{n→∞}(ln(n)-Σ_{k=1}^n 1/k))/(sΠ_{k=0}^n ((1 + s/k) e^{-s/k}))
> の事でしたね。

違います. 分母も \lim_{n \to \infty} \prod_{k=1}^n ((1 + s/k) e^{-s/k})
 = \prod_{k=1}^\infty ((1 + s/k) e^{-s/k}) に変えるのです.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_95__04.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_95__05.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_95__06.jpg
> という具合に証明したのですがこれで宜しいでしょうか?

 M_k は本来は変数 s を含まない項でないといけない, とか,
示すべきことのピントがずれているところは多々ありますが,
まあ良いでしょう.

> すみません。よく考えてみると題意はC\setminus{0,-1,-2,…}での収束性なので
> s∈C\setminus{0,-1,-2,…}なるsについて議論すれば良いだけであって
> s=0についてあれこれ述べる必要は有りませんでしたね。

そんなことはありませんよ. \Gamma(s) が s = 0 で
一位の極を持つこと等が読み取れるような表示でないと
困ります.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_93__06.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_93__07.jpg
> と訂正してみたのですがこれで大丈夫でしょうか?

まあ大して変りませんね.

> 繰り返しですが
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_93__06.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_93__07.jpg
> で宜しいでしょうか?

まあ, 複素数平面の有界領域上では一様収束するということが,
読める人には読み取れるので, 一々訂正しようとは思いません.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_27__01.jpg

 (1) の部分はまるで駄目ですが,

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_27__02.jpg
> の(2)でいいのですね。納得です。

 (2) は良いでしょう.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_27__03.jpg
> で確かめたようにg(z)はz=z_0で微分可能なので

大事なのは, g(z) が z = z_0 のまわりで収束するベキ級数
で書けていて, g(z_0) \neq 0 であることですから,
少しやはりピントがボケた記述ですが.

> 少なくとも収束半径は0ではありませんね。

お分かりなのでしょうか.
 
> ん?? これはどういう意味でしょうか(ここが最大の謎です)?
> s=s_0を代入した時の1/f(s)の分母の値は何になるのでしょうか?

そういう問いかけは無意味です.
 1/f(s) = (s - s_0)^n (1/g(s)) の右辺には
問題なく s = s_0 が代入できます.

> In article <110717223342.M0126309@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > g(s) \neq 0 は条件より自明.
> 
> え? 何故,自明なのでしょうか? 

 g(s_0) \neq 0 で, g は s = s_0 のまわりで収束する
ベキ級数で定義されているのですから, 正則, 当然, 連続
ですから.

> 自明なんかではなくただ単に
> 1/f(s)=(s-s_0)1/g(s)は1/f(s_0)=0・1/g(s_0)で

だから, 1/f(s_0) というのは, 右辺で定義するのでなければ,
無意味です.

> 1/f(s_0)=0で1=0と矛盾が発生するだけではないでしょうか?

おや, いつ 1/f(s_0) が 1 になってしまったのでしょう.

> え!? つまり,f(s_0)なるものは定義されないということでしょうか?

元々 f は s_0 の近傍 U_\epsilon(s_0) から s_0 を除いたところ
 U_\epsilon(s_0) \setminus { s_0 } での正則関数でしか
ありませんでした.

> するとそもそもfは写像なのでしょうか? もしそうならfの値域は∞も含める(?)

 f は U_\epsilon(s_0) \setminus { s_0 } で定義された
 ( C への) 写像です. そう考えるときには値域には
 \infty は入りません.

> > # f(s_0) は無限遠点である, という考え方はありますが.
> 
> f(s_0):=∞と定義するのですか?

はい. 複素数平面 C のコンパクト化としてリーマン球面 P^1(C)
を考えて, 有理形関数とは P^1(C) への写像だと考えます.

> 　そして(1÷∞)1/∞=0と定義するのでしょうか?

まあそうです.

> これでも÷の記号を∞でも使えるよう定義の拡張が必要になると思いますし,
> 1=∞・0と意味不明になってしまいますよね?

位相構造は延長して考えますが, P^1(C) は体にはなりませんから,
 a = b/c なら ac = b のような話が P^1(C) で成立するわけではなく,
そのような書き換えができるわけではありません.

> > Leibniz の公式を使えばよいでしょう.
> >  (d^m/ds^m)((s - s_0)^m (1/g(s)))
> >   = \sum_{k=0}^m
> >      { m \choose k } (d^{m-k}/ds^{m-k})((s - s_0)^m) (d^k/ds^k)(1/g(s)).
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_27__04.jpg
> となったのですがどうすれば≠0が導けますでしょうか?

途中から (d^{m-k}/ds^{m-k})((s - s_0)^m) が
 (d^{m-k}/ds^{m-k})((s - s_0)^{m-k}) に化けていますね.
やり直し.

> えっいえ,
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_98__00.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_98__01.jpg
> となったのですが
> lim_{n→∞}Π_{k=0}^n((1+k/s)exp(-s/k))の収束性はどうすれば示せますでしょうか?

要するに, 御自身で,

> 繰り返しですが
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_93__06.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_93__07.jpg
> で宜しいでしょうか?

とは書いていても, その内容は全く分かっていない,
ということですね.

岩波講座 現代数学への入門「複素関数入門」神保道夫著
の 105 page 以降, 5 無限和と無限積 を 117 page 位まで
お読み下さい.

> > 任意の正数 R について, |s| \leq R においては
> > |(1 + s/k) \exp(-s/k) - 1| \leq M/k^2 となる M が
> > 取れたのですから, |s| \leq R では一様収束です.
> 
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__02.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_99__03.jpg
> となったのですがΣ_{k=1}^∞(-1+exp(-s/k)+s/k exp(-s/k))
> どうすればΠ_{k=1}^∞(1+(-1+exp(-s/k)+s/k exp(-s/k)))が
> 全複素平面で一様収束する事が言えるのでしょうか?

だから, 「言えません」. 言えるのは「広義一様収束」することだけです.

> すいません,混乱してしまいました。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_98__02.jpg
> という等式は成立たないのでしょうか?

成り立ちますが, 右辺以外は(右辺に一致するということ以外の)
利用価値がありません. だから, 忘れてしまいなさい.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_96__01.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_96__02.jpg
> となったのですが
> Σ_{n=0}^∞ a_{n+1}(z-a)^{n+1}が絶対収束するのは何故なのでしょうか?

それは U_r(a) = { z \in C | |z - a| < r } において
 f(z) が正則であれば,
 f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z - a)^n と　
 f(z) を z = a のまわりでのベキ級数として表示ができて,
そのベキ級数の収束半径は r 以上であり, 従って,
 |z - a| < r である z で
 \sum_{n=0}^\infty a_n (z - a)^n は絶対収束すること, と,
 f(a) = 0 であれば, a_0 = 0 であるので,
 \sum_{n=0}^\infty a_n (z - a)^n
 = \sum_{n=1}^\infty a_n (z - a)^n
 = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (z - a)^{n+1}
となること, によります.

> そしてg(z)がz=aで正則になる事はどうして分かるのでしょうか?

 g(z) = \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} (z - a)^n は　
 (f(z) =) \sum_{n=0}^\infty a_n (z - a)^n と　
同じ収束半径を持つベキ級数で表示されているからです.
 0 でない収束半径 r を持つベキ級数で表示される関数は
 |z - a| < r において正則です.

さて, 今仮定から a_1 \neq 0 なので,
 g(a) = a_1 \neq 0 であり, 1/g(z) は z = a の近傍で正則です.
従って, 1/g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n (z - a)^n と
ベキ級数として表示されます. 但し, その収束半径 r' > 0 は
 r と一致するとは限りません.

> そしてb_0=1/a_1とどうして書けるのでしょうか?

 b_0 = 1/g(a) = 1/a_1 です.

> そして1/f(z)=1/(z-a) 1/g(z)と書けるのは何故なのでしょうか?

 f(z) = (z - a) g(z) でしたから,
 z \neq a で g(z) \neq 0 となる z においては
 1/f(z) = 1/((z - a) g(z)) = (1/(z - a))(1/g(z)) です.
それだけのことです.
 g(a) = a_1 \neq 0 でしたから, ある正数 \epsilon について,
 U_\epsilon(a) \setminus { a } においては g(z) \neq 0 であり,
 1/f(z) = (1/(z - a))(1/g(z)) が成立し, 両辺とも正則です.

> そしてΣ_{n=0}^∞b_n(z-b)^{n-1}が絶対収束するは何故なのでしょうか?

 \sum_{n=0}^\infty b_n (z - a)^n の収束半径が r' でしたから,
 |z - a| < r' においては \sum_{n=0}^\infty b_n (z - a)^n は
絶対収束します.

> あと,
> (ii)や(iii)の場合も考えてみたのですがその場合,
> 2位の極,3位の極となってしまいます。
> a_1=0やa_1=a_2=0の場合はどのように考えればいいのでしょうか?

上の話が理解できれば, 全く同じことです.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop199_97__00.jpg
> となったのですが
> どうして1/(s(s+1)(s+2)…(s+N-1))Γ(s+N)がs=0,-1,…,-N+1で
> 1位の極を持つと分かるのでしょうか?

 \Gamma(s+N) は s = 0 で正則で, 
 1/((s+1)(s+2)\cdots(s+N-1)) も s = 0 で正則ですから,
 f(s) = \Gamma(s+N)/((s+1)(s+2)\cdots(s+N-1)) も s = 0 で正則です.
又, f(0) = \Gamma(N)/((0+1)(0+2)\cdots(0+N-1))　
 = (N-1)!/(N-1)! = 1 \neq 0 です.
このとき, \Gamma(s) = \Gamma(s+N)/(s(s+1)(s+2)\cdots(s+N-1))
 = (1/s) f(s) は s = 0 で一位の極を持ちます.
# 何故一位の極を持つかの議論を繰り返すことはしません.

 s= -1, -2, \dots, -N+1 についても同様です.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__40.jpg
> となったのですがどうしてL(s,χ)=Σ_{n=1}^∞χ(n)/n^sと書けるのでしょうか?

右辺 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s が収束するところでは
その値を L(s, \chi) とするのが,
最初っからの L(s, \chi) の定義です.

> そしてΣ_{k=1}^Nχ(k)/k^s=0となるのはどうしてなのでしょうか?

なりませんよ.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__40.jpg

の式変形がおかしいだけです.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__41.jpg
> となったのですが7行目でどうしてχ(k)が消せるのでしょうか?

 |\chi(k)| = 1 です.

> それと11行目でΣ_{m=1}^∞|s|/m^{Re(s)+1} 
> N(N-1)/2≦Σ_{m=1}^∞|s|/m^{Re(s)+1} N
> は成立しないと思うのですがここはどう処理すればいいのでしょうか?

  \sum_{m=1}^\infty (N(N-1)/2)(|s|/(m N)^{Re(s)+1})
   \leq \sum_{m=1}^\infty (N^2/N^{Re(s)+1})(|s|/m^{Re(s)+1})
   \leq \sum_{m=1}^\infty (N |s|)/m^{Re(s)+1}

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__44.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__42.jpg
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop3_15__43.jpg
> という具合になったのですが

だからそういう評価では収束が言えません.
 |f_m(s)| \leq (N |s|)/m^{Re(s)+1} を使うのです.

> の不等式はどうして成立つのでしょうか?

そんな不等式は使わないのです.

> > それは元々, \chi に何の条件が無くても,
> > L(s, \chi) は高々 s = 1 にのみ極を持つ
> > 複素数平面全体での有理形関数であったのですから,
> 
> えっ。何処かでそれについて議論しましたかね。

 L(s, \chi) = \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{\equiv a (N)}(s)
についてはさんざん議論したと思いますが.

> つまり,L(s,χ)はs=1で孤立特異点を持ち,しかもs=1では1位の極を持ち,

 s = 1 では「高々」一位の極を持ち, です.

> それ以外では正則になるという訳ですね。
> それでしたらRe(s)>1での議論も不要になってしまうではありませんか?

だから, Re(s) > 0 で正則であることが分かれば,
 s = 1 でも実は正則であった, ということになるわけです.

> この問題はどのように解決すればいいのでしょうか?

そういう式変形では有効な情報が得られないから,
別の方法を取っているのです.

> > ともあれ, L(s, \chi) は高々 s = 1 のみを極とする
> > 全複素数平面での有理形関数 \zeta_{\equiv a (N)}(s) らの
> > 一次結合 \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) \zeta_{\equiv a (N)}(s)
> > として表されているのですから,
> 
> 全複素平面ではL(s,χ)は
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_of_DL__00.jpg
> と表れされるのではなかったのですか?

 \zeta_{\equiv a (N)}(s) = N^{-s} \zeta(s, a/N)
を使って書きなおしたのがそれですから同じことです.
まさか, 一々 \zeta(s, a/N) は積分で書かなければ
いけない, などと思ってはいないでしょうね.

> もしそうなら
> L(s,χ)=ζ_{1modN}(s)+ζ_{2modN}(s)+…+ζ_{(N-1)modN}(s)で

係数 \chi(a) が抜けていますね.

> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/def_of_partial_zeta_function__00.jpg
> からどうすればs=1のみを極とする全複素平面で有理型関数になっている事が
> 明らかに分かるのでしょうか?

既に書きました. 下を御覧なさい.

> 確かにこれが正則ならそれのスカラーχ(a)倍の有限和が正則となる事は
> 容易に分かりそうですがその前に
> このひと項自体の正則性はどうすれば分かるのでしょうか?

 \zeta_{\equiv a (N)}(s) = N^{-s} \zeta(s, a/N)
であり, 一般に \zeta(s, x) は高々 s = 1 のみを一位の極とする
全複素数平面での有理形関数ですから,
 x = a/N のばあいのそれに,
全複素数平面での正則関数 N^{-s} を掛けたものも,
 s = 1 を除いては正則で,
 s = 1 は高々一位の極となります.

> すっすいません。何処の箇所でしょうか?　お手数お掛けします。

 \sum_{a=1}^{N-1} \chi(a) = 0 のときは, Re(s) > 0 では
 \sum_{n=1}^\infty \chi(a)/n^s = \sum_{m=0}^\infty f_m(s) となり,
各 f_m(s) は正則関数で, |f_m(s)| \leq (N |s|)/m^{Re(s)+1} (m > 0)
という評価が存在するので,
和 \sum_{m=0}^\infty f_m(s) は Re(s) > 0 で広義一様収束し,
 \sum_{n=1}^\infty \chi(n)/n^s は Re(s) > 0 では
正則関数となる.

> > # \Gamma(s) をそんな風に書いてはいけないということも繰り返して
> > # おきましょうか.
> 
> 喩え,Re(s)>1より大きい定義域(全複素平面)でもでしょうか? 

 Re(s) > 1 でそう書くのは未だ分かります.
それ以外の所で使うのは何の役にも立ちません.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp