工繊大の塚本です.

In article <iulotn$ea2$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> 大体,
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_9_01.jpg
> としておけば普通に適用できたのですね。
> 終集合をC^×にしておいたから混乱してしまっておりました。

それは未だ随分と混乱していますね.

乗法群であるのは, 複素数全体 C ではなく,
 0 以外の複素数全体 C^\times ですから,
群 G の 1 次元のベクトル空間 C における表現, つまり指標とは,
 G から C^\times への群順同型のことです.
 Dirichlet 指標というのは,
有限群 (Z/NZ)^\times の指標を
整数全体 Z から複素数全体 C への写像に拡張したものですが,
有限群 (Z/NZ)^\times の指標自体は
 (Z/NZ)^\times から C^\times への写像で, 群順同型になっているものです.

> という事はζ関数の定義は
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def__11.jpg
> でいいのですね。

 \Gamma(s) のその表示はここでは何の役にも立ちません.

> In article <110630173506.M0104487@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  \lim_{n \to \infty} (\sum_{k=1}^n 1/k - \log n)
> >   = \lim_{n \to \infty} (\sum_{k=1}^n 1/k - \int_1^n 1/x dx)
> > が存在して正の実数になることは,
> >  a_n = \sum_{k=1}^n 1/k - \int_1^n 1/x dx
> > と置くと, a_n > 1/2 であり,
> 
> ">1/2"とどうしてわかるのでしょうか?

  1/k - \int_k^{k+1} 1/x dx > (1/2)(1/k - 1/(k+1))

より,

  \sum_{k=1}^n 1/k - \int_1^n 1/x dx
   = \sum_{k=1}^{n-1} (1/k - \int_k^{k+1} 1/x dx) + 1/n
   > (1/2) \sum_{k=1}^{n-1} (1/k - 1/(k+1)) + 1/n
   = (1/2)(1 - 1/n) + 1/n
   > 1/2

です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_93__01.jpg
> となったのですが定数M,rはどのように採れますでしょうか?

  |(1+s)\exp(-s) - 1|
   \leq |(1+s) - \exp(s)||\exp(-s)|
   \leq (\sum_{n=2}^\infty |s|^n/n!) \exp(|s|)
   \leq (|s|^2 \sum_{n=2}^\infty |s|^{n-2}/(n-2)!) \exp(|s|)
   \leq |s|^2 (\exp(|s|))^2

ですから, |s| \leq r においては, M = \exp(2 r) とすれば,
 |(1+s)\exp(-s) - 1| \leq M |s|^2 になります.

> あと,|s|<Rなる実数Rとしてどのようなものが採れますでしょうか?

それは, 「任意に取れる」というのがミソです.
だから, 複素数全体で正則になるわけです.

> うーん、そうしますとどのように変形すればいいのでしょうか?

岩波講座 現代数学への入門「複素関数入門」神保道夫著 を
良くお読み下さい.

> L(s,χ)はC\setminus{1,0,-1,-2,…}で1位の極を持つ有理型関数なのですよね?

 s = 0, -1, -2, \dots では (1/\Gamma(s)) が零点を
持ちますので, L(s, \chi) は正則になります.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def__12.jpg
> と書けるのですね。 

* 標準的な記法を使いましょう.
*  \Gamma(s) のその表現はここでは役に立ちません.
*  \chi(Z) は常に 0 と 1 とを含んでいますから,
   L(s, \chi) が s = 1 でも正則になる為の条件を
   \chi(Z) \neq { 1 } とするのでは意味がありません.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp