工繊大の塚本です.

In article <j0a7gg$cim$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すいません。どういう道筋でζ(1-n,x)=-nB_n(x)を示してあるのでしょうか?

岩波講座 現代数学の基礎「数論１」加藤和也・黒川重信・斎藤毅著
の 101 page から 102 page は理解できたのでしょうか.

> 今,∫_0^1exp(-u)/(1-exp(-u)) u^{s-1} du=Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/n! 1/(n+s-1)
> という関係が成立つ事が分かり,
> 
> x∈(0,1)にて
> Σ_{n=0}^∞B_n(x)/n! u^n=uexp(xu)/(exp(u)-1)という関係も分かり,
> 
> Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))がs=1,s=0,s=-1,s=-2,s=-3で
> 1位の極を持つ事が分かりました。

だから,

  \Gamma(s) \zeta(s, x)
   = \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
     + \int_1^\infty u^{s-1} (e^{-xu}/(1 - e^{-u})) du

で, \int_1^\infty u^{s-1} (e^{-xu}/(1 - e^{-u})) du は
全複素数平面で正則であることが分かったわけです.

> しかし参考書では
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__19.jpg
> という(異なった(?))手順で証明してありますよね。

何処が何と違うのですか.

  \lim_{s \to 1-n} (s + n - 1) \int_1^\infty u^{s-1} (e^{-xu}/(1 - e^{-u})) du
   = 0,
  \lim_{s \to 1-n} (s + n - 1) \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
   = (-1)^n (B_n(x)/n!),
  \lim_{s \to 1-n} (s + n - 1) \Gamma(s)
   = (-1)^{n-1}/(n-1)!,

ゆえ,

  \zeta(1-n, x)
   = \lim_{s \to 1-n} \zeta(s, x)
   = ((-1)^n (B_n(x)/n!))/((-1)^{n-1}/(n-1)!)
   = - B_n(x)/n

となることに, 何か問題がありますか.

> 取り敢えず
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop207_93__00.jpg
> という命題は正しいのですよね。

はい.

> えっ!? どうしてですか?? u=0の時はu/(e^u-1)の分母は0に
> なってしまうではありませんか。

分子も 0 になりますね. 形式的には u = 0 は特異点の
ように見えますが, 除去可能な特異点です.

  u/(e^u - 1)
   = u/(\sum_{n=1}^\infty u^n/n!)
   = 1/(\sum_{n=1}^\infty u^{n-1}/n!)
   = 1/(\sum_{n=0}^\infty u^n/(n+1)!)

は全複素数平面で正則で, u = 0 で値 1 を取る関数
 \sum_{n=0}^\infty u^n/(n+1)! の逆数の関数ですから,
 u = 0 の近傍で正則です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop207_95__01.jpg
> という命題で正しいのですね。

はい.

> 正しくは
> 『f(z)が{z∈C;a<|z|<b}で連続ならd/dz∫_a^z f(t)dt=f(z) (但し,a<|z|<b)』
> ですね。

複素数平面上の関数 f(z) について,
それが正則でなければ,
 F(z) = \int_a^z f(t) dt は a から z までの路を決めなければ
定まりません. 正則でも a < |z| < b のような
単連結でない領域では F(z) は一般に多価になります.
いずれにせよ, ここでいう微積分学の基本定理とは違う話です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop207_9__03.jpg
> となりましたが
> |∫_{x_{n+1}}^{x_M}(n+1)B_n(x)dx|/(n+1)!≦(|x_M-x_{n+1}|(n+1)n!/2^n)/(n+1)!
> と変形できるのは何故なのでしょうか?

帰納法の仮定 |B_n(x)/n!| \leq 1/2^n を用いています.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_28__00.jpg

意味不明な文章ですが,

> としてみたのですが
> lim_{h→0}(f(z_0+h)g(z_0+h)-f(z_0)g(z_0))/hからどのように書けますでしょうか?

そのようなものを計算する必要はありません.
 f が z = z_0 を一位の零点とするなら,
 h(z_0) \neq 0 となる正則関数 h があって,
 f(z) = (z - z_0) h(z) となります.
 g が z = z_0 を一位の極とするなら,
 k(z_0) \neq 0 となる正則関数 k があって,
 g(z) = (z - z_0)^{-1} k(z) となります.
 f(z) g(z) = ((z - z_0) h(z))((z - z_0)^{-1} k(z))
 = h(z) k(z) ですから, 明らかに z = z_0 で正則です.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop199_933__00.jpg

だから, その表示は役に立たないと, 何回言ったら
納得するのですか.

> となったのですがどうして
> lim_{n→∞}n/(s+1+n)lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n (s+k)
> =s lim_{n→∞}n^s n!/Π_{k=0}^n(s+k)
> と変形できるのでしょうか?

その表示を変形することは忘れて下さい.
# まあ, 出来るけれど.
 Re(s) > 0 のときに, 部分積分により,

  \Gamma(s+1)
   = \int_0^\infty u^{s+1-1} e^{-u} du
   = [ u^s (- e^{-u})]_0^\infty + \int_0^\infty s u^{s-1} e^{-u} du
   = s \int_0^\infty u^{s-1} e^{-u} du
   = s \Gamma(s)

が示されます.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__22.jpg
> となったのですがどうしてlim_{s→1-n}Γ(s+n)/(s(s+1)(s+2)…(s+n-2))
> からΓ(1)/((1-n)(2-n)(3-n)…(-1))が言えるのでしょうか?

ただ, s に 1-n を代入するだけです.

> 今,nは自然数なのでn=1,2,3,…を取りうる可能性がありますよね。

それがどうかしましたか. まあ, n = 1 のときは
 \lim_{s \to 0} \Gamma(s+1) を計算することになるという
注意は必要かもしれない.

> Hurwitzのζ関数は
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/def__14.jpg
> というものでしたよね。

単に, Re(s) > 1 で定義された正則関数 \sum_{n=0}^\infty 1/(n + x)^s
を全複素数平面に有理形関数として解析接続したもの, です.

> ζ(s,x+1)=ζ(s,x)-x^-sがどうしてΣ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))と
> いう式に関わってくるのでしょうか?

関わりませんよ. \zeta(s, x) が任意の x > 0 について
 s = 1 のみを一位の極とする全複素数平面での有理形関数
になるということが最終的に示したいことですが,
それは 0 < x \leq 1 のときに示せば十分であるという
議論の為に, \zeta(s, x+1) = \zeta(s, x) - x^{-s} に
注意しただけです. そして, 0 < x \leq 1 を仮定して,
 \Gamma(s) \zeta(s, x) = \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
 + \int_1^\infty u^{s-1} (e^{-xu}/(1 - e^{-u})) du という表示を
導きました.

> In article <110711124112.M0121664@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 別のところにも書きましたが, もう一度書きます.
> > a_{-n} \neq 0 として, z = z_0 の周りでの Laurent 展開:
> >  f(z)
> >   = a_{-n} (z - z_0)^{-n} + a_{-n+1} (z - z_0)^{-n+1} + \cdots
> >     + a_{-1} (z - z_0)^{-1} + a_0 + a_1 (z - z_0) + \cdots
> >   = \sum{m=-n}^\infty a_m (z - z_0)^m
> >   = (z - z_0)^{-n} \sum_{m=-n}^\infty a_m (z - z_0)^{m+n}
> >   = (z - z_0)^{-n} \sum_{\ell=0}^\infty a_{\ell-n} (z - z_0)^\ell
> > において, g(z) = \sum_{\ell=0}^\infty a_{\ell-n} (z - z_0)^\ell は
> > z = z_0 の周りで正則な関数で, g(z_0) = a_{-n} \neq 0 ですから,
> > 1/f(z) = (z - z_0)^n (1/g(z)) も z = z_0 の周りで正則な関数で,
> > z = z_0 を n 位の零点として持ちます.
> 
> これが最大の謎です。何故z=z_0が1/f(z)の零点になるのでしょうか?

正則関数 (z - z_0)^n (1/g(z)) において,
 z = z_0 がその零点となることが分かりませんか.

> s=s_0を1/f(s)に代入した時の1/f(s)の分母の値は何になるのでしょうか?

その問いには意味がありません.
 1/f(s) を (s - s_0)^n (1/g(s)) に書き換えてから
 s = s_0 を代入するのです.

> でもa=0やb=∞なら1/(a/b) = b/a という等式は成立ちませんよね?

だから, ちゃんと意味を持つような形を使うのです.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_4__00.jpg
> を使えばいいのですね。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__23.jpg
> という具合に正則性を証明出来ました。

無駄な文章が含まれていますが, まあ良いでしょう.

> そもそも
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop205_22__00.jpg
> という命題は無いのですね。

命題はありますが, そのようには証明されません.

> > だから, それを用いて証明するわけではないのです.
> > 岩波講座現代数学への入門「複素関数入門」神保道夫著
> > 106 page 定理 5.3 をお読み下さい, と既に別のところで書きました.
> 
> お手数お掛けします。
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop198_26__00.jpg
> ですね。

はい.

> でも今,Σ_{n=0}^∞(-1)^n B_n(x)/(n!(s+n-1))の
> C\setminus{1,0,-1,-2,-3,…}での正則性を言いたいので
> http://www.geocities.jp/kyokoyoshi0515/Number_Theory/prop198_26__00.jpg
> ではなく

こちらは一様収束に関する一般論.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem5_4__00.jpg
> を使うべきですよね。

こちらはどのような場合に一様収束が導けるかの話.
だから, 定理 5.4 の証明には定理 5.3 が使われています.

> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__16.jpg
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__17.jpg> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18__18.jpg
> からs=1,s=0,s=-1,…でのΣ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))の留数は
> 夫々1,1/2,-1/6,…と計算できましたがこれではどうして駄目なのでしょうか? 

 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
の s = 1 - n での留数は (-1)^n B_n(x)/n! です.
考えている複素関数の変数は s で,
 x はただの parameter です.
留数が parameter x によって変わるのでないと,
明らかに誤りです.
-- 
塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp