ご回答誠に有難うございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/theorem3_18_...
>> の問題を解いております。
> 定理 3.18 (1) を示すのに, Re(s) > 1 では
>  \Gamma(s) \sum_{n=0}^\infty 1/(x + n)^s
>   = \int_0^\infty e^{- x u}/(1 - e^{-u}) u^{s-1} du
> であることを用いるわけですが,
> その積分を分けての
>  \int_0^1 e^{- x u}/(1 - e^{-u}) u^{s-1} du
> の計算の所ですね.

はい,そうです。

>> どうして∫_0^1[Σ_{n=0}^∞(-xu)^n/n!/(1-Σ_{n=0}^∞(-u)^n/n!)]u^{s-1}duから
>> ∫_0^1Σ_{n=0}^∞[(Σ_{i=0}^k k_C_i B_i x^{k-i})/n!]・(-1)^n u^{n+s-2}du
>> と変形できるのでしょうか?
> 先ず, { n \choose i }/n! = (1/i!)(1/(n-i)!) ですから,
>  \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n
>   = \sum_{n=0}^\infty (\sum_{i=0}^n { n \choose i } B_i x^{n-i})/n! u^n
>   = \sum_{i=0}^\infty (B_i/i!) u^i \sum_{n=i}^\infty (x u)^{n-i}/((n-i)!)
>   = (u/(e^u - 1)) e^{x u}
> となることは宜しいでしょうか.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop206__04.jpg
となったのですが最後部分の
Σ_{i=0}^∞(B_i u^i/i! Σ_{n=i}^∞(xu)^{n-i}/(n-i)!)から
u/(exp(u)-1) Σ_{n=i}^∞(xu)^{n-i}/(n-i)!
と変形できるのは何故なのでしょうか?

更にu/(exp(u)-1) Σ_{n=i}^∞(xu)^{n-i}/(n-i)!から
uΣ_{n=0}^∞(xu)^n/n!/(exp(u)-1)
と変形できるのも何故なのでしょうか?

>  \int_0^1 e^{- x u}/(1 - e^{-u}) u^{s-1} du
>   = \int_0^1 e^{(1-x)u}/(e^u - 1) u^{s-1} du
>   = \int_0^1 (u e^{(1-x)u}/(e^u - 1)) u^{s-2} du
>   = \int_0^1 (\sum_{n=0}^\infty (B_n(1-x)/n!) u^n) u^{s-2} du
>   = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty (B_n(1-x)/n!) u^{n+s-2} du
> となります.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop206__05.jpg
∫_0^1(Σ_{n=0}^∞Bnl(n)u^n/n!) uexp(-xu)u^{n-2}duから
∫_0^1(Σ_{n=0}^∞Bnl(n)(1-x)u^n/n!) u^{n-2}du
と変形できるのは何故なのでしょうか?

> 更に, B_n(1-x) = (-1)^n B_n(x) ですから,

この公式はどうして成立つのでしょうか?

>   = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(x)/n! u^{n+s-2} du
> となります. この収束は一様ですので,

すみません。 どうしてΣ_{n=0}^∞∫_0^1 (-1)^n B_n(x)/n! u^{n+s-2} duが全複素平面で一様収束する事が分
かるのでしょうか?

>   = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(x)/n! \int_0^1 u^{n+s-2} du
>   = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(x)/(n! (n+s-1))
> となります.

これはその通りですね。

>> 「これΣ_{n=0}^∞B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)は複素平面全体に
>> sの有理型関数として延長される」となっていますが
>> Σ_{n=0}^∞B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)がs=1,0,-1,-2,-3,…で1位の極を持つ事と
>> C〓{1,0,-1,-2,-3,…}ではΣ_{n=0}^∞B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)は
>> 正則になる事はどうすれば分かるのでしょうか?
> 先ず, \zeta(s, x + 1) = \zeta(s, x) - x^s ですから,
> 0 < x \leq 1 について証明できれば良いことに注意しましょう.
> 0 < x \leq 1 で |B_n(x)|/n! \leq 1/2^n であることが
> 示せますので,
>  \sum_{n=0}^\infty (-1)^n B_n(x)/(n! (n+s-1))
>   = \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
> の内, |s| \leq R においては
>   \sum_{R+1 < n} (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s + n - 1))
> が正則になることが分かります. 後は自明です.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop206__06.jpg
としてみたのですが
1/lim_{n→∞}(n^sn!/Π_{k=0}^n(s+k)) [Σ_{n=0}^∞(-1)^n B_n(x+1)/(n!(s
+n-1)+∫_0^∞ exp(-(x+1)u))u^{s-1}/(1-exp(-u)) du]から
1/lim_{n→∞}(n^sn!/Π_{k=0}^n(s+k)) [Σ_{n=0}^∞(-1)^n B_n(x)/(n!(s
+n-1)+∫_0^∞ exp(-xu)u^{s-1}/(1-exp(-u)) du]-x^s
と変形できるのは何故なのでしょうか?

そして,Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))がC＼{1,0,-1,-2,-3,…}で正則を示すのに
0<x≦1のみでΣ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))が正則を示せば十分であるのはどうしてなのでしょうか?

そして1/2^n-|Σ_{i=0}^n n_C_i (B_i)x^{n-i}|/n!≧0という不等号が成立つのはどうしてでしょうか?

そしてΣ_{n=R+2}^∞ B_n(x)/n! (-1)^n/(s+n-1)が{s∈C;|s|<R}で正則であるような正実数Rをどのように採
ればいいのでしょうか?

更にΣ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))がs=1,s=0,s=1,…で一位の極を持つ事を言う為に
Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))=Σ_{n=0}^∞c_n(s-1)^n+b/(s-1),
Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))=Σ_{n=0}^∞c_n(s-0)^n+b/(s-0),
Σ_{n=0}^∞(-1)^nB_n(x)/(n!(s+n-1))=Σ_{n=0}^∞c_n(s-(-1))^n+b/(s-(-1)),
：
なる
c_n∈Cと(0≠)b∈Cをどのように採ればいいのでしょうか?