工繊大の塚本です.

In article <759cb907-b4a2-45dc-814c-4a92cdc420fc@a39g2000pre.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> MとM^⊥の基底にもなってるVの正規直交基底が必ず取れる。
> つまり,∃{v_1,v_2,…,v_n}:Vの正規直交基底
> such that {v_1,v_2,…,v_m}はMの基底。{v_{m+1},v_{m+2},…,v_n}はM^⊥の基底。
> という意味ですが。

それならそう言えば済むことですが,

> え〜!? ,{v_1,v_2,…,v_n}:Vの基底で
> MにもM^⊥にも含まれないような{v_1,v_2,…,v_n}が在るのですか。

この疑問を目にすると, どういう理解をされているのか,
判断に苦しみます.

> するとMとM^⊥の元でv_1,v_2,…,v_nの一次結合として表せられないものが
> 採れてしまうのではないでしょうか?

 R^2 の subspaces M = { x = y }, M^⊥ = { x + y = 0 }
に標準基底 e_1 = (1, 0), e_2 = (0, 1) のどちらも
入っていません.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp