工繊大の塚本です.

In article <56115e12-876d-4c74-8726-dbc157b40291@l35g2000pra.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> えっ? 採らない場合もあるのでしょうか?

勿論, M = Im P_m の正規直交基底と 
 M^{⊥} = Im (I - P_m) の正規直交基底を
合わせたものが全空間 V の正規直交基底に
なることを示すのは容易ですが,
 
> もし,∀i∈{1,2,…,n}に対し,v_i∈Mでないなら線形部分空間の定義により,
> M={0}でなければならない。
> 何故ならM≠{0}であるとするとv_i∈Mでなく,
> M≠{0}なら線形部分空間の定義から0≠∃x∈Mでxは一次独立で
> v_1,v_2,…,v_n,xも一次独立でVの次元がnである事に反する。
> 従って,やはりM≠0ならば必ず∃i_0∈{1,2,…,n};v_{i_0}∈M
> と示してみたのですがこれでは駄目でしょうか?

この議論は意味不明です.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp