Re: Res_{z=πi}(z-sinh(z))/(z^2sinh (z))=i/π
工繊大の塚本です.
In article <110accb6-c174-4603-94ad-99671df5ab24@p10g2000prm.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <090718172058.M0322619@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > lim_{z→πi} sinh(z)/(z - πi)
> > は計算できますか?
>
> lim_{z→πi}snh(z)/(z-πi)=lim_{z→πi}(exp(z)-exp(-z))/2/(z-πi)
> =lim_{z→πi}(Σ_{k=0}^∞ z^k/k!-Σ_{k=0}^∞(-z)^k/k!)/2/(z-πi)
> =lim_{z→πi}Σ_{k=0}^∞ z^{2k+1}/(2k+1)!/2/(z-πi)
> からどうなりましょうか?
sinh(z) を z = 0 の周りで展開しても駄目です.
必要なのは z = πi の周りでの展開です.
sinh(πi) = (e^{πi} - e^{-πi})/2 = ((-1) - (-1))/2 = 0
ですから,
lim_{z→πi} sinh(z)/(z - πi)
= lim_{z→πi} (sinh(z) - sinh(πi))/(z - πi)
= (sinh(z))'|_{z = πi}
= cosh(πi)
= -1
です.
sinh(z) = (-1)(z - πi) + (1/2)sinh''(πi)(z - πi)^2 + …
であることからも分かりますね.
展開が分かれば, 計算も出来るでしょう.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp
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