Res_{z=πi}(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))=i/π

いつも大変お世話になっております。

(a) Res_{z=πi}(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))=i/π

(b) Res_{z=πi}exp(zt)/sinh(z)+Res_{z=-πi}exp(zt)/sinh(z)=-2cos(πt)

を示す問題です。

「Res_{z=a}f(z)=bならg(z):=f(z)/(z-a)はz=aで正則でg(a)≠0」という関係がありますよね。
でもf(z):=(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))=(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))・(z-πi)/(z-
πi)
=[(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))(z-πi)]/(z-πi)
と変形してみたのですが
g(z):=(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))(z-πi)はg(πi)=0となるのでf(z)はz=πiで特異点を持たないと思いま
す。
どのようにして証明すればいいのでしょうか?

(b)についてもどのようにして示せばいいのでしょうか?

吉田京子