工繊大の塚本と申します.

 Subject: が ISO-8859-7 で MIME-encode されているので,
変更しました.

In article <73b744b2-8657-4cc4-9a27-61988f24dca3@y4g2000prf.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> (a) Res_{z=πi}(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))=i/π
> 
> (b) Res_{z=πi}exp(zt)/sinh(z)+Res_{z=-πi}exp(zt)/sinh(z)=-2cos(πt)
> 
> を示す問題です。
> 
> 「Res_{z=a}f(z)=bならg(z):=f(z)/(z-a)はz=aで正則でg(a)≠0」
> という関係がありますよね。

ありません. f(z) が z = a で正則であれば,
 g(z) = f(z)/(z - a) は z = a で高々一位の極となり,
 Res_{z=a} g(z) = f(a) です.

> でもf(z):=(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))
> =(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))・(z-πi)/(z-πi)
> =[(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))(z-πi)]/(z-πi)

ああ, 書き方が悪い. 

  = [(z - sinh(z))(z - πi)/(z^2 sinh(z))]/(z - πi)

と書きましょう.

> と変形してみたのですが
> g(z):=(z-sinh(z))/(z^2sinh(z))(z-πi)はg(πi)=0となるので

なりますか? sinh(πi) = 0 ですよ?

  lim_{z→πi} sinh(z)/(z - πi)

は計算できますか?

> f(z)はz=πiで特異点を持たないと思います。

そんなことはありません.

> どのようにして証明すればいいのでしょうか?
> 
> (b)についてもどのようにして示せばいいのでしょうか?

 sinh(z) の定義から計算し直して下さい.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp