工繊大の塚本です.

In article <6dfa3831-42f3-4800-97f4-e07dd44f2dd7@o36g2000yqh.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> #G=3の時はGは巡回群でG_2={0mod3}でr=0,
> #G=5の時はGは巡回群でG_2={0mod5}でr=0,
> #G=6の時はGは巡回群で(∵G=Z_6=Z_2×Z_3)G_2={0mod6,3mod6}=Z_2でr=1,
> #G=7の時はGは巡回群でG_2={0mod7}でr=0,
> #G=8の時はG=Z_8,G=Z_4×Z_2,G=Z_2×Z_2×Z_2があり,
> G=Z_8の時,G_2={0mod8,4mod}=Z_2でr=1,
> G=Z_4×Z_2の時,G_2={(0mod4,0mod2),(0mod4,1mod2),(2mod4,0mod2),
> (2mod4,1mod2)}=Z_2×Z_2でr=2,
> G=Z_2×Z_2×Z_2の時,G_2=Z_2×Z_2×Z_2でr=3.
> #G=9の時はG=Z_9,G=Z_3×Z_3があり,G=Z_9の時,G_2={0mod9}でr=0,
> G=Z_3×Z_3の時も,G_2={(0mod3,0mod3)}={0mod9}でr=0.
> #G=10の時はG=Z_10=Z_2×Z_5で(∵gcd(2,5)=1),G_2={(0mod10,0mod5),(1mod2,0mod5)}
> =Z_2でr=1.
> #G=11の時はGは巡回群でG_2={0mod11}でr=0,
> #G=12の時はG=Z_4×Z_3,G=Z_2×Z_2×Z_3があり,G=Z_4×Z_3の時,G_2={(0mod4,0mod3),
> (2mod4,0mod3)}=Z_2でr=1,
> G=Z_2×Z_2×Z_3の時,G_2={(0mod2,0mod2,0mod3),(0mod2,1mod1,0mod3),
> (1mod2,0mod2,0mod3),(1mod2,1mod2,0mod3)}=Z_2×Z_2でr=2,
> ：
> となっていくのですね。

そういう個別の例を挙げるだけでは証明にはなりません.

> 上記の議論から,2|#Gでない時(#Gは2を約数に持たない時)は,G_2={0},即ちr=0で,
> ∃n∈N;2^n|#Gの時は,G_2=(Z_2)^r,即ちr=1or r=2 or,…,or r=n
> が挙げられるのですね。

それを, 例えば Abelian group の基本定理を用いたりして,
「証明」せよ, というのが問題です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp