いつも大変お世話になっております。

プリント配布からの問題です。
Let (G,+) be a finite abelian group and G_2:={g∈G;g+g=0} Show :
(1) G_2 is a subgroup of G which is isomorphic to (Z_2^r,+),for some
f≧0.
(2) Σ_{x∈G}x=Σ_{y∈G_2}y and 2・Σ_{x∈G}x=0.
(3) Σ_{x∈G}x≠0 if and only if G_2〜Z_2(但し,〜は同型を表す).

という問題に取り組んでいます。

(1) での「Z_2^r」はrの位置が微妙で(Z_2)^rなのか(Z^r)_2なのかはっきりしません。
多分,前者だと思います。

((1)の証)
G_2:={g,0}なので∀x,y∈G_2を採ると,x^-1+y=0 or g ∈G_2.
∴ G_2はGの部分群。
r=1の時,f(0):=0mod2f(g):=mod2とすればfは同型になるのでG_2〜Z_2.
でももし,g=0ならG_2は単位群となってしまい,問題自体が意味を成さなくなるのではないでしょうか?

((2)の証)
Σ_{x∈G}x=Σ_{y∈G_2}yについては双方とも和を持つという意味でしょうか。
でももし,G=Z_4,G_2=Z_2なら双方の和は振動してしまいますから等式は成立しないと思うのですが…。
勘違いしてますでしょうか?

((3)の証)
必要性についてはΣ_{x∈G}x≠0はGが単位群ではないという意味だと思いますが,かといってG_2も単位群でないとは限りませんよね。
なのでG_2〜Z_2は言えないと思うのですが勘違いしてますでしょうか?
十分性についてはG_2が単位群ではないという事意味しますからΣ_{x∈G}xは振動してΣ_{x∈G}x≠0となりますよね。

吉田京子