工繊大の塚本です.

In article <966a42f7-000b-464c-9703-6a44fdd1c94d@x16g2000prn.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> T={Π_{i=1}^d [n_i,n_i+1);n_1,n_2,…,n_d∈Z}は位相になってますから
> σ(T)がBorel集合体になっているのですね。

別に位相になってはいませんが, 普通の R^d の
位相について Borel 集合であることは明らかです.

> {A⊂R^d;AはLebesgue可測}はσ集合体をなし,
> この集合はT(TはR^dの通常の位相)を含む。
> Borel集合体も定義からTを含み,σ集合体に関しての最小性から
> (Borel集合体)⊂{A⊂R^d;AはLebesgue可測}の関係になる。
> 従って,Borel集合はLebesgue可測が言え,

貴方のお読みになっている本ではそういった筋で
ことが証明されているようですね.

> Borel集合はm^*に関してCaratheodory可測。
> と言えるのですね。

 Lebesgue 可測集合は, Lebesgue 外測度に関して
 Caratheodory 可測, が証明されればそういうこと
になります.

一方, Lebesgue 外測度について Caratheodory 可測
な集合全体が Borel 集合を含むことを,
 Lebesgue 可測集合の話とは関係なく証明すること
も出来ます.

> これはBorel集合体は位相で生成されるσ集合体なので位相のとり方によっては
> Borel集合はLebesgue可測集合とはならない場合　があるわけですね。

それはそうです. もっとも, Lebesuge 可測集合の話を
するときには, 当然, R^d の普通の位相に関しての
 Borel 集合を考えるわけです.
 
> すいません。再度読返したのですが,Borel集合がm^*に関して
> Caratheodory可測である理由を何処で仰っているか分かりませんでした。
> どこで仰ったのでしょうか?

事実として述べただけで, 理由は述べていません. 
証明は Lebesgue 可測性を, Caratheodory の構成で
示している教科書を御覧下さい.

閉集合が Lebesgue 外測度に付いて Caratheodory 可測
であることを示して, それから生成される σ集合体も
そうなることを示すことになります.

> > 任意の ε > 0 について, E ∩ B_n ⊂ U_n となる開集合 U_n で
> > m^*(U_n＼B_n) < ε/2^n, m^*(U_n＼(E ∩ B_n)) < ε/2^n と
> > なるものを取れば, U = ∪_{n=1}^∞ U_n について,
> 
> ここは命題"∀A⊂R^d,0<∀ε∈R, A⊂∃U∈T;m^*(A)≦m^*(U)<m^*(A)+ε"を
> 使われたのでしょうが
> E∩B_n⊂B_nの関係になってますよね。なので任意のεに対して,
> 同じUが取れるとは限らないのではないでしょうか?

ですから E∩B_n それぞれについて U_n を選んでいます.
 U = ∪_{n=1}^∞ U_n は, 勿論, ε > 0 に対して
決まるものです.
 
宜しいでしょうか.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp