ご回答大変有難うございます。


> で, Lebesgue 外測度について Caratheodory
> 可測であること
> と,
> 別の Lebesgue
> 可測であることの定義が一致することを示せ,
> という問題ですね.

さようでございます。


>> この題意は,
>> 「∀A⊂R^d,m*(A)=m*(A∩E)+m*(A∩E^c)
>> (但し,m*は(Caratheodory)外測度)
> これは「 (但し, m^* は Lebesgue 外測度)」 ですね.

そうでした。すいません。


>> ⇔inf{m*(U＼E)∈[0,∞];E⊂U∈T,TはR^dの通常の位相}=0
>> (但し,m*はLebesuge外測度)」
>> だと思います。
>  Legesgue 可測の定義としてこれを採用するのですね.

はい。他にもルベーグ可測の定義ってあるのでしょうか?


> この命題を使う
> としましょう.
> 先ず E が Lebesgue 外測度について Caratheodory
> 可測であり,

∀A⊂R^d,m^*(A)= m*(A∩E)+m*(A∩E^c) …①ですね。


>  m^*(E) < ∞ とすると,
：
> これは「よって下限の定義より inf { m^*(U＼E) ; E ⊂
> U ∈ T
> } = 0.
> 」
> ですね. これで Lebesgue 可測であることは良いですね.

ありがとうございます。


>  m^*(E) = ∞ の場合は, ∞ - ∞ < ε
> には意味がありませんから別にしないといけません.
>  R^d を可算個の有界な Borel 集合 {B_n}の交わらない和に分けます.

{B_n}⊂σ(T):={R^d, φ}∪{t^c⊂R^d;t∈T}∪{∪[i=1.. ∞]t_i⊂R^d;t_i∈T}∪T
 (但し, σ(T) はTで生成されるσ集合体, B_1,B_2,… は互いに素) ですね。


>  E が Lebesgue 外測度について Caratheodory可測であれば
>  E ∩ B_n も Lebesgue 外測度について Caratheodory可測で

①ならば∀A⊂R^d,m^*(A)= m*(A∩(E∩B_n))+m*(A∩(E∩B_n)^c)…②
であることは後述にてCaratheodory "可測集合全体の集合はσ集合体をなす"と仰ってますのでB_nもCaratheodory可測なら
E∩B_nはCaratheodory可測と言えますね。B_nがCaratheodory可測である事はどうして言えますでしょうか?


> あり, m^*(E ∩ B_n) ≦ m^*(B_n) <∞より上の議論から
> Lebesgue可測になります.

∀n∈N,m^*(E∩B_n)<∞で②が成り立つのでm^*(E)<∞の場合と
同様にしてE∩B_nはルベーグ可測が言えるのですね。


> 任意の ε > 0 について, E ∩ B_n ⊂ U_n となる開集合 U_nで
> m^*(U_n＼B_n) < ε/2^n, m^*(U_n＼(E ∩ B_n))<ε/2^n となるものを取れば,
>U = ∪_{n=1}^∞ U_n について,

B_n=E ∩ B_n: ルベーグ可測なので確かにこのようなU_nが取れますね。


>   U＼E = ∪_{n=1}^∞ (U_n＼E)

OKです。

> = ∪_{n=1}^∞ ((U_n＼E) ∩ B_n)

∵B_n⊂E


> ∪ ∪_{n=1}^∞ ((U_n＼E)＼B_n)

∵B_n⊂E


> ⊂ ∪_{n=1}^∞ (U_n＼(E ∩ B_n)) ∪_{n=1}^∞(U_n＼B_n)
> となるから m^*(U＼E) < 2ε となり, E は Legesgue 可測です.

納得です。


> ヒントもいまいち意味が分かりません。
>  Hint は, A に対して, 自然数 n について, A ⊂ U_n の開集合 U_n で m^*(A) ≦ m^*(U_n)
> < m^*(A) + 1/n となる物を選んで, G = ∩_{n=1}^∞ U_nをとれば,
>  G は G_δ 集合で, A ⊂ G であり, m^*(G) ≦ m^*(U_n)

∀n∈N, m^*(A) ≦ m^*(U_n) ですね。納得です。


>  < m^*(A) + 1/n より, m^*(G) ≦ m^*(A) であり,

納得です。


> 一方,m^*(A) ≦ m^*(G) ですから,

今、A⊂Gですから単調性より言えますね。


> m^*(G) = m^*(A) となることをいっています.

納得です。


> G は Borel 集合で

Borel集合の定義より、GはBorel集合ですね。


> (Lebesgue外測度について Caratheodory)可測であることも認めているよう
> ですね. これはさておき,
>  E を Lebesgue 可測とすると, 自然数 n について,
> E ⊂ O_n となる開集合 O_n で m^*(O_n＼E) < 1/nとなるものを選んで,
> H = ∩_{n=1}^∞ O_n をとれば, H は G_δ集合で,
> E ⊂ H であり, m^*(H＼E) ≦ m^*(O_n＼E) < 1/nより,
>  m^*(H＼E) = 0 となります.

納得です。


> 普通は G_δ 集合 H と, 外測度 0 の集合 H＼E が
>  Lebesgue 外測度について Caratheodory可測であることと,

つまり “HはG_ δ集合でm^*(H＼E)=0 ⇒∀A⊂R^d,m^*(A)= m*(A∩(H＼E))+m*(A∩(H＼E)^c)“
という命題があるのですね。


>  Lebesgue 外測度について Caratheodory可測である集合がσ加法族を為すことから,

Σ:={E⊂R^d; ∀A⊂R^d,m^*(A)= m*(A∩E)+m*(A∩E^c)} とするとR^d∈Σで  E∈Σ⇒E^c∈Σ
はすぐに言えますよね。E_1,E_2,…∈Σ⇒∪[i=1.. ∞]E_i∈Σも言えるのですね。



> E = H＼(H＼E) も Lebesgue外測度について Caratheodory可
測であることを導くのだと
> 思います.

HがCaratheodory可測であること(∀A⊂R^d,m^*(A)=m*(A∩H)+m*(A∩H^c))
はどうすれば言えますでしょうか?


> 直接, 任意の集合 A について m^*(A) =m^*(A∩E)+m^*(A∩E^c)
> を示すことも可能である筈ですが, 簡単な議論をちょっと思いつきません.

略解を漸く見つけました。
(十分性)
∀A⊂R^d, ∃GはG_δ集合;A⊂G,m^*(A)= m^*(G) (∵命題(?))
なので
m^*(A)= m^*(G)=m^*(G∩(E∪E^c))=m^*((G∩E)∪(G∩E^c))=m((G∩E)∪(G∩E^c))
(∵G,Eはルベーグ可測なので(G∩E)∪(G∩E^c) もルベーグ可測)
= m(G∩E)+m(G∩E^c) (∵G∩EとG∩E^cとは互いに素なので可算加法性)
= m^*(G∩E)+m^*(G∩E^c) ≧ m^*(A∩E)+m^*(A∩E^c).
よって EはCaratheodory可測.

(必要性)
Caratheodory可測集合Eに対して,∃G:G_δ集合;E⊂G,m^*(E)=m^*(G) …③(∵命題(?))
Caratheodory可測の定義よりm^*(G)=m^*(G∩E)+m^*(G∩E^c)と書け,
G∩E=Eよりこの式はm^*(G)=m^*(E)+m^*(G∩E^c)と書け,③より
m^*(G∩E^c)=0 即ち,m^*(G＼E)=0. よってEはルベーグ可測.

となっているのですが最後でG∈T (但しTはR^dの通常の位相)が言えないと
Eはルベーグ可測とは言えませんよね。Gは開集合の共通部分で必ずしも開集合にはなりませんよね。うーん,最後でどうしてルベーグ可測と言えるのでしょ
うか?

あと,「∀A⊂R^d, ∃GはG_δ集合;A⊂G,m^*(A)= m^*(G)」という命題は存在するのでしょうか?
この命題がなかなか見つかりませんで。。