EがCaratheodory可測⇔EはLebesgue可測

いつも大変お世話になっています。

Consider the exterior Lebesgue measure m*.
Prove that a set E in R^d is Caratheodory measurable if and only if E
is Lebesgue measurable.
[Hint: If E is Lebesgue measurable and A is any set,choose a G_δ set G
such that A⊂G and m*(A)=m(G). Conversely,if E is Caratheodory
measurable and m*(E)<∞,choose a G_δ set G with E⊂G and m*(E)=m*(G).
Then G＼E has exterior measure 0.]

という問題です。
Caratheodory可測の定義は「∀A⊂R^d,μ*(A)=μ*(A∩E)+μ*(A∩E^c) (但し,μ*は(Caratheodory)
外測度)が成立つ時,E⊂R^dをCaratheodory可測という」
Lebesgue可測の定義は「inf{m*(U＼E)∈[0,∞];E⊂U∈T,TはR^dの通常の位相}=0 (但し,m*はLebesuge外測
度)」だと思います。

よってこの題意は,「∀A⊂R^d,μ*(A)=μ*(A∩E)+μ*(A∩E^c) (但し,μ*は(Caratheodory)外測度)
⇔inf{m*(U＼E)∈[0,∞];E⊂U∈T,TはR^dの通常の位相}=0 (但し,m*はLebesuge外測度)」

を示せという問題だと思います。
ヒント通りにEをCaratheodory外測度とするともしm*(E)<∞ならm*(E)=m*(G)なるG_δ集合Gがどうして選べるのか分かりま
せん。どうしてなのでしょうか?

あと,m*(E)=∞の場合はどうすればいいのでしょうか?