Re: (続)(Ω,Σ,μ)がσ有限測度空間で1≦p<∞でf_kはfにL^p収束で∀x∈Ω,lim[k→∞]g_k(x)=g(x)で∀k,‖g_k‖_∞≦Mならf_kg_kはfgにL^p収束する事を示せ

工繊大の塚本です.

In article <206a63d6-fe99-4466-90b4-51870606ce16@r37g2000prr.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://groups.google.co.jp/group/fj.sci.math/browse_thread/thread/5f9817ca139daf59?hl=ja#
> 
> より,1≦p<∞です。

ああ, 違う thread の話と混同していました.

> いえ, g_k → g はただの収束です。
> そうですね。でもg_kは‖g_k‖_∞≦Mですがg_k∈L^∞とは記載されてません。
> でも‖‖_∞の定義はL^∞に対して定義され事が分かりました!!
> よってg_kはΣ可測です。よってg_k→gならg_k→g a.e.なのでgもΣ可測で
> f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)とf(x)g_k(x)-f(x)g(x)もΣ可測である事が言え、

これで良いですね.

> 従って,ご紹介いただいたとおり,
> (∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)+f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ)^(1/p)
> =‖f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)+f(x)g_k(x)-f(x)g(x)‖_p
> ≦‖f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)‖_p+‖f(x)g_k(x)-f(x)g(x)‖_p
>  (∵Minkowskiの不等式)
> =(∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)|^pdμ)^(1/p)
>  +(∫_Ω|f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ)^(1/p)

ここまでは良いですが,

> ≦((∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)|^pdμ)
     +(∫_Ω|f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ))^(1/p)

これは, 又, 25^{1/2} + 25^{1/2} = 10 = 100^{1/2} より
 (25 + 25)^{1/2} = 50^{1/2} の方が大きいという
ようなもので, 成立しない不等式です.

> 即ち,
> (∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)+f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ)^(1/p)
> ≦((∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)|^pdμ)
>    +(∫_Ω|f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ))^(1/p)
> あとは両辺をp乗して
> ∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)+f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ
> ≦∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)|^p+|f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ
> となるのですね。

だから, なりません. 前の投稿で書いたように,

  ∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)+f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ
  ≦((∫_Ω|f_k(x)g_k(x)-f(x)g_k(x)|^pdμ)^{1/p}
     +(∫_Ω|f(x)g_k(x)-f(x)g(x)|^pdμ)^{1/p})^p

とするか, Minkowski の不等式を使わずに, 最初の thread で
書いた不等式を使って,

  ∫_Ω |f_k(x) g_k(x) - f(x) g(x)|^p dμ
  ≦ 2^p(∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p |g_k(x)|^p dμ
         + ∫_Ω |f(x)|^p |g_k(x) - g(x)|^p dμ) 

とすれば良いでしょう. (後者には 2^p が付いています.)
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp