ご回答誠に有難うございます。

> 「部分集合を値にとる写像」を考えようとされていたのでは
> ありませんか.

えっ,まぁそうでしたが(汗)。部分集合が相手だとにっちもさっちも行かなくなりまして。。

>> f∈Map((C×{0})∪({0}×(C\setminus{0}))),C)を
> それは「部分集合を値にとる写像」ではありませんね.
> 複素数平面上で定義された関数一つと
> 複素数平面から原点を除いたところで定義された関数一つの
> 組を考えているだけですね.

くっ。そうでしたか。。

> もっとも, 実際には,
>> f(x+yi,0):=(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)
>              +i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)),
>> f(0,x+yi):=-(((√(x^2+y^2))^{1/2}cos((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)
>               +i√(x^2+y^2))^{1/2}sin((cos^-1x/√(x^2+y^2))/2)) (但し,xy≠0) 
> 
>> と定義すればいいかと思います。
> というのは, 複素数平面から原点を除いたところで定義された関数二つ
> の組を与えたいというだけのようですが.
> # 「与えたい」というのは分かりましたが,
> # 勿論, 与えることに成功しているわけではない.

そうですか。

>> z:=x+yiという変数で表す時, z=z_0の時, (z_0,0)でfが正則であるとは
>> lim_{C∋h→0}(f(z_0+h,0)-f(z_0,0))/hで定義できるかと思います。
> それは複素数平面上で定義された複素数値関数の正則性の話で,
> 「部分集合を値にとる写像」とは無関係.

確かにそれはそうなのですが,「部分集合を値にとる写像」に関しては白旗です。

>> Cauchyの積分定理についてはもう少し時間を下さい。
> 「部分集合を値にとる写像」に対して考えるのですか.

いえ、組を使って,多価関数を一価関数に見立てた場合についてです。

>>> もう一つの貴方の大きな間違いは, cos^{-1} を一価関数と考えたいときは
>>> どのような領域で考えないといけないかを忘れていることです.
>> 例えば,cosθ=1なら (θ=)cos^1(1)=2nπ (但し,n∈Z)と多価関数
>> になってしまいますね。
>> その時は,
>> f:=cos^-1∈Map(([-1,1]×{2}×{2}×…)∪({2}×[-1,1]×{2}×…)∪…,R)
>>  (但し,"…"は可算個を意味する)
>> f(1,2,2,…):=0,f(2,1,2,…):=2π,f(2,2,1,2,…):=-2π,
>> f(2,2,2,1,2…):=4π,f(2,2,2,2,1,2…):=-4π,…
> それらは [-1, 1] という定義域の上で定義された
> 沢山の関数の組を考える, ということのようですが,
> そういったものと「多価関数」との違いは認識されていますか.

えっぇぇ。
多価関数とは一つの元に関して多個の像を持つ対応の事なので
定義域に複数個の複素平面を用意して,一葉目の任意の複素数は何番目の像に、二葉目の任意の複素数は何番目の像にと溢れず&漏れなく対応させると実は写像が出来上がる。
という所がRiemman面の嬉しいところです。

それで今,複数個のRiemann面を用意して写像を造る事は結局は直積集合を持ってして表現できないかと思い立っただけのことでございます。

>> f(1/2,2,2,…):=π/6,f(2,1/2,2,…):=-π/6,f(2,2,1/2,2,…):=π/6+2π,
>> f(2,2,2,1/2,2…):=-π/6+2π,f(2,2,2,2,1/2,2…):=π/6+4π,…
>> という具合に定義すればいいのではと思います。
> そういう遣り方では, 考えたいものは定義されないでしょう.

シンプルなもので定義不能に陥る可能性があるものにどのようなものが挙げれますでしょうか?

>>>> つまり,
>>>> [定義] 位相空間(X,T)をHausdorff空間とし、U∈T,D⊂(C,S)
>>>> (但し,Sは複素数体Cの通常位相)とすると
>>>> UとDは夫々XとCの位相部分空間となる。この時,
>> UとD間に同相写像が存在する。
>>>> この同相写像をUとDのchartという。
> 「この時,UとD間に同相写像が存在する。」というと,
> いつでも U と D が同相であることになってしまいます.

そうでした。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_chart__00.jpg
という具合に訂正しました。如何でしょうか?

>>> 何を定義しようとしているつもりでしょうか.
> 先ずはどんなものが chart であるのかの定義をしよう
> としていたのではありませんか.

そうでしたね。

>> Reimann面です。
> Riemann 面の話をするのであれば, 随分と足りませんが,
> 「位相多様体」の定義としても, 文章になっていません.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_topological_manifold__00.jpg
ででも駄目でしょうか?

>>> 何を Chart と呼んでいるか分かっていますか.
>> [定義] 位相空間(X,T)をHausdorff空間とし、U∈T,D⊂(C,S)
>>  (但し,Sは複素数体Cの通常位相)とすると
>> UとDは夫々XとCの位相部分空間となる。
>> この時,UとD間に同相写像が存在する。
>> この同相写像をUとDのchartという。
>> というUとD間の同相写像の事です。
> もう一度問い掛けておきます. どの U と D とについても
> 同相写像があるのですか.

いいえ、違います。申し訳ありません。
http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_chart__00.jpg
が正しいchartの定義でした。

>>> compatible とは何についての関係か分かっていますか.
>> 2つのchartsについての関係です。
> それならそう書かなければ意味を為しません.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_compatible_00.jpg
にて二つのchartsの関係である事を
「f,g are compatible (or f iscompatible to g)」と述べてるつもりなのですが。

>>>> [定義] (X,T)をHausdorff空間とし、U∈T,D⊂(C,S)とし,
>>>> A:={f∈Chart(U,D);fはcompatible}とする時,
>>>> AはXのatlas. ⇔ ∀x∈Xに対して,x∈dom(f)なる∃f∈A.
>>> 「 f は compatible 」というのが意味を為さないことは分かっていますか.
>> えっ?  どういう意味でしょうか?
> f という一つの chart について述べるのでは意味を為しません.

そうしますと
http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_compatible_01.jpg
という部分は完全に間違いなのですね。
compatibleには"f is compatible to g"のように
必ず目的語gを明記しないといけないのですね。

>> atlasの定義から間違っておりますでしょうか?
> 未だそこまで話が出来ていないでしょう.

http://www.geocities.jp/sayori_765195/def_of_atlas__00.jpg
のatlasの定義も間違いでしょうか?

>> A:={f∈Chart(C,D);f is compatible}(但し,D⊂C)をC上の
>> atlasと呼ぶのですよね?
> だから, そのような文章では意味を為しません.

それなら
A:={f∈Chart(C,D);∃g∈Chart(C,D) such that f is compatible}(但し,D⊂C)をC上のatlasと呼ぶのでしょうか?


是非是非,正しい定義をご教示ください。