ご回答誠に有難うございます。

>> [0]={x^2+x+1+f(x)・0;f(x)∈R[x]}={x^2+x+1;f(x)∈R[x]}={x^2+x+1}となる。
> それは間違い.
>  [0] = { 0 + f(x)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 } です.

そうでした。[a]の定義は{a+f(x)(x^2+x+1);f(x)∈R[x]}でしたね。

>> 従って,{(x^2+x+1)(f(x)+1);f(x)∈R[x]}≠{x^2+x+1}なので
>> [x^2 + x + 1]=[0]とは言えないと思うのですが、、、
>  [x^2+x+1]
>  = { (x^2+x+1) + f(x)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 }
>  = { 0 + (f(x) + 1)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 }
>  = { 0 + f(x)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 }
>  = [0]

これはそうですね。

>> で和を保存し,積については
>> Φ([ax+b])Φ([a'x+b'])=(aω+b)(a'ω+b') (∵Φの定義)
>> =aa'ω^2+(aa'+b'b)ω+bb'
> これが間違い.
> =aa'ω^2+(ab'+ba')ω+bb'
> です.

そうでした。お恥ずかしい。

>  ω^2 = - ω - 1 ですから,

これも忘れておりました。

>  aa'ω^2+(ab'+ba')ω+bb'=(bb'-aa')+(ab'+ba'-aa')ω となります.

納得です。

>> 一方,
>> Φ([ax+b][a'x+b'])=Φ([aa'x^2+(ab'+a'b)x+bb'])(∵類の乗法の定義)
>> =陸([aa'x^2+(aa'-aa'+ab'+a'b)x+aa'-aa'+bb'])
>> =陸([aa'(x^2+x+1)+(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
>> =Φ([aa'(x^2+x+1)]+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の加法の定義)
> ここまではまあ良い.

はい。

>> =陸([0]+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
>> =Φ([0+(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の加法の定義)
>> =陸([(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
>> =(-aa'+ab'+a'b)ω+(-aa'+bb')(∵Φの定義)
> となります.

有難うございます。
=Φ([aa'(x^2+x+1)]+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
=Φ({φ(x)≡aa'(x^2+x+1) (mod<x^2+x+1>);f(x)∈R[x]}+[(-aa'+ab'+a'b)x-
aa'+bb']) (∵類の定義)
=Φ({aa'(x^2+x+1)+f(x)(x^2+x+1);f(x)∈R[x]}+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
=Φ({0+(aa'+f(x))(x^2+x+1);f(x)∈R[x]}+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
=Φ({0+f(x)(x^2+x+1);f(x)∈R[x]}+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
=Φ([0]+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の定義)
=Φ([(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の加法の定義)
=(-aa'+ab'+a'b)ω-aa'+bb' (∵Φの定義)
=aa'(-ω-1)+(ab'+ba')ω+bb'
=aa'ω^2+(ab'+ba')ω+bb' (∵ωは1の原始立方根なのでω^2=-ω-1)
=(aω+b)(a'ω+b')
=Φ([ax+b])Φ([a'x+b']) (∵Φの定義)

で仰るとおりΦはに環準同型を満たしました。


吉田京子