工繊大の塚本です. どうも化けますね.

In article <6c06ccb9-299c-4f72-a06a-33b5be64602b@t10g2000yqg.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [0]={x^2+x+1+f(x)・0;f(x)∈R[x]}={x^2+x+1;f(x)∈R[x]}={x^2+x+1}となる。

それは間違い.
 [0] = { 0 + f(x)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 } です.
 
> 従って,{(x^2+x+1)(f(x)+1);f(x)∈R[x]}≠{x^2+x+1}なので
> [x^2 + x + 1]=[0]とは言えないと思うのですが、、、

 [x^2+x+1]
 = { (x^2+x+1) + f(x)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 }
 = { 0 + (f(x) + 1)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 }
 = { 0 + f(x)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 }
 = [0]

> In article <100611124903.M0222224@ras1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 複素数体 C の中の z^2 + z + 1 = 0
> > を満たす元 z に写さないといけません.
> > 例えば ω = (-1 + √3 i)/2 として,
> > Φ([a x + b]) = a ω + b で
> > Φ: R[x]/(x^2+x+1) → C
> > を定義すれば, 同型であることが示せます.
> 
> Φ([ax+b]+[a'x+b'])=Φ([(a+a')x+(b+b')])(∵類の加法の定義)
> =(a+a)ω+(b+b') (∵Φの定義)
> =(aω+b)+(a'ω+b')
> =Φ([ax+b])+Φ([a'x+b'])
> 
> で和を保存し,積については
> 
> Φ([ax+b])Φ([a'x+b'])=(aω+b)(a'ω+b') (∵Φの定義)
> =aa'ω^2+(aa'+b'b)ω+bb'

これが間違い.

  =aa'ω^2+(ab'+ba')ω+bb'

です. ω^2 = - ω - 1 ですから,
 aa'ω^2+(ab'+ba')ω+bb'=(bb'-aa')+(ab'+ba'-aa')ω となります.

> 一方,
> Φ([ax+b][a'x+b'])=Φ([aa'x^2+(ab'+a'b)x+bb'])(∵類の乗法の定義)
> =陸([aa'x^2+(aa'-aa'+ab'+a'b)x+aa'-aa'+bb'])
> =陸([aa'(x^2+x+1)+(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
> =Φ([aa'(x^2+x+1)]+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の加法の定義)

ここまではまあ良い.

> =Φ({x^2+x+1+f(x)(aa');f(x)∈R[x]}+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の定義)

 [aa'(x^2+x+1)]
 = { aa'(x^2+x+1) + f(x)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 }
 = { 0 + (f(x) + aa')(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 }
 = { 0 + f(x)(x^2+x+1) ; f(x) は R[x] の任意の元 }
 = [0]

です. だから Φ([aa'(x^2+x+1)]+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
 =Φ([(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) です.

> でここからは{x^2+x+1+f(x)(aa');f(x)∈R[x]}=[0]が成立つのかなとも思いましたが

それは [aa'(x^2+x+1)] を書き換えるところで間違っていますから
駄目ですが, 結果としては

> =陸([0]+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
> =Φ([0+(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の加法の定義)
> =陸([(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
> =(-aa'+ab'+a'b)ω+(-aa'+bb')(∵Φの定義)

となります.

> となり,(-aa'+bb')+b'bω'になってくれません。
> 
> 何処が間違っているのでしょうか?

沢山間違っていますね.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp