ご回答大変有難うございます。

> typo もありますし, E ∩ {0} の部分は酷いと思います.
> 論理の流れとしては, m_α(E ∩ [- n, - n + 1)) = 0 から
> m_α(f(E ∩ [- n, - n + 1))) = 0 を導くなどした後,
> m_α(f(E)) = 0 を導けば良いので, f(E ∩ [- n, - n + 1)) の
> Hausdorff 次元についての話が交じるのは, 理解が不十分である
> ことを示す混乱だと思います.

有難うございます。Hausdorff次元云々を言う必要はありませんね。
Lemma2.2(i)を使えば,m_α f(E∩[-n,-n+1))=f(E∩(n, n+1])=0が直ぐに言えますね。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/no5_20090508.jpg

> C^1 であれば  Lipcshitz であることの理由付けは
> どうやら理解していただいたようですが, では M を具体的には
> 何にとって成立するのか, という点を明確にしないのは
> 不十分です.

M:=f'(-n)やM:=f'(n+1)と採ればいいのですね。

>> Borel集合体の定義に「コンパクト集合全体を含む最小のσ集合体を
>> Borel集合体という」とありましたが,
> それは普通の定義とは少し違いますが,

はい。

>> 「BをR^dでのσ集合体とする時,
>> Bがコンパクト全体を含む⇔Bが開集合全体を含む」
>> を示さねばならないのですね。
> R^d の場合には容易に同値性は示せます.

Bがcompact集合を含むなら閉集合を含む(∵Heine-Borel被覆定理)から開集合を含む
(∵Bはσ集合体なので,σ集合体の定義)。
逆も同様ですね。

>> 以前,ご教示頂きましたよね。
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/lemma2_2_prime.jpg
>> という具合に理解しておりますが。
> 同様の状況が生じた時, 同様の議論を自ら案出できるようになれば,
> 理解されたと判断できるわけです.

了解いたしました。理解を深めたいと思います。

吉田京子