工繊大の塚本です.

In article <97291b15-fa4d-4ff0-b497-bb31855e1d8a@z19g2000yqe.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> えっ? kが奇数の時は- (-y)^{1/k} とy^{1/k}は同じことではないのでしょうか?

整数でない b については a^b は a ≧ 0 についてのみ
定義するのが正しい作法です.

> >  (-∞, 0) 上で定義された (-∞, 0) に値をとる関数です.
> 
> kが奇数の時はy=x^kの逆関数(0,∞)では定義されないのでしょうか?

それは (0, ∞) から (0, ∞) への写像の逆関数として
別に定義してあるでしょう.

> 「m_α(f(E))=0でkが奇数ならf^-1は全単射で
> (1)から0=m_α(f^-1f(E))=m_α(E)が言えますね。
> ：
> よってm_α(f(E))=m_α(E) 」
> 
> の議論は間違ってますでしょうか?

議論に実質的な内容がないので, 貴方の理解は測れません.

> In article <090419222600.M0106146@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> >  dim E = inf { α | m_α(E) = 0 },
> >  dim f(E) = inf { α | m_α(f(E)) = 0 },
> > ですから, dim E < α なら m_α(E) = 0 で, (1) より
> >  m_α(f(E)) = 0 となるので, dim f(E) ≦ α となり,
> 
> ここまでは一応分かりますが
> dimE<αでは等号が入らないのにどうしてdimf(E)≦αでは等号が入るのでしょうか?

 dim E < α でないと m_α(E) = 0 であることは導けません.
 m_α(f(E)) = 0 から導けるのは dim f(E) ≦ α であること
だけです.

> >  dim f(E) ≦ dim E です.
> 
> どうしてdimf(E)≦αからdimf(E) ≦ dimEが出てくるのでしょうか?

 dim E < α である任意の α について dim f(E) ≦ α
であるなら, dim f(E) ≦ dim E です.

# dim f(E) > dim E であれば,
# dim E < α < dim f(E) となる α が存在します.

> m_α(E)=0ならm_α(f(E))=0で(∵(1)),
> γ=1でLipschitz条件が成立しているので
> Lemma2.2の(ii)が使えて,dimf(E)≦dimEが言えるのではないでしょうか?

 Lemma 2.2 というのは E が compact という条件下で
成立しているものでした. それが無くても大丈夫, とは
言いましたが, それは示さないといけません. で,
 Lemma 2.2 の (ii) の証明には上で述べたような
論法が使われているのですが, それを理解されていますか.

> > 上の, m_α(f(E)) = 0 なら m_α(E) = 0 が分かれば,
> >  dim f(E) < α なら m_α(f(E)) = 0 で,
> >  m_α(E) = 0 となるので, dim E ≦ α となり,
> >  dim E ≦ dim F(E) です.
> 
> これも, m_α(f(E))=0ならm_α(E)=0となるのだから,
> これはm_α(f(E))=0ならm_α(f^-1f(E))=0と書け,
> γ=1でのLipschitz条件が成立しててLemma2.2の(ii)よりdimE≦dimf(E).
> としては駄目なのでしょうか?

 f^{-1} の Lipschitz 条件というのは,
 m_α(f(E)) =0 なら m_α(E) = 0 を示す為に使うので,
そこから dim E ≦ dim f(E) の条件を出すのは
同じ論法になることを説明しました.

 Lemma 2.2 は直接使えません.

> >  (1) が使えるのではなくて, (1) と「同様に」証明できるのです.
> >  (1) は x^k が Lipschitz であることを用いて証明したのです.
> >  m_α(f(E)) = 0 なら m_α(E) = 0 を証明するには, (局所的な)
> > 逆写像が Lipschitz であることを使う必要があります.
> 
> 「m_α(f(E))=0でkが奇数ならf^-1は全単射で
> (1)から0=m_α(f^-1f(E))=m_α(E)が言えますね。
> ：
> よってm_α(f(E))=m_α(E) 」
> ですよね。

貴方は, f^{-1} が Lipschitz 条件を満たすことを
示していません. f についても示していませんね.
それはこの問題において最低限為すべき実質的なことです.

> 「但し, (0, ∞) の 0 も境界の点であるので,
> (0, 1) = ∪_{n=1}^∞ [1/(n+1), 1/n) と
> 分けないと, f^{-1} が Lipschitz にならなかったりします」
> 
> 分けない場合,(0,1)でf^{-1} が Lipschitzにならない場合とは
> どんな場合がありますでしょうか?

「場合」があるのではなく, 「ならない」のです.
 Lipschitz 条件を満たすことを示して見て下さい.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp