ご回答大変ありがとうございます。


> ルベーグ積分の四段階での構成法が一般の σ-有限測度空間上の
> 積分の構成にも移行できることを示せ, というわけです.

なるほど。。


> # ルベーグ積分というのは必ずしも導入に四段階が必要では
> # ありませんから, 貴方の習っている course の内容に照ら
> # してお考え下さい.

了解いたしました。


>  canonical form というのは, 単関数で, 関数値が等しい所は
> 一つの集合の特性関数の関数値倍にまとめておく, というだけ
> のことです.

そうですね。


> まあ, 単関数の積分が, 単関数としての表示に
> 依らないことは, 言及しておく必要があるでしょう.

了解いたしました。


>> でも単関数の積分の定義の前に特性関数の積分の定義をしなければ
>> 成らないのではないかと思います。。。
> 特性関数というのは単関数の特別な場合ですから,
> 特に別扱いする必要はないでしょう.

了解いたしました。


> なお, ここでは E_k は測度有限で, c_k も有限値の
> 場合が想定されているでしょう.

E_kが無限測度ならc_k=0とするのですよね。


>> ②は単関数でない一般の関数ψのルベーグ積分の定義だと思います。
>  ψ ではなく, f ですね.

そうでした。失礼いたしました。


>> 非負関数なら単関数列が採れると言う意味でしょうか?
>  f に収束する単調増加で f で抑えれられている単関数列の存在は
> 証明しておく必要がありますね. まあ, 何回か述べました.

これについては以前,証明してみました。


>> supp(f)の定義とそれの測度が有限と主張されてるようですが
>> これがどういう意味を持つのでしょうか?
>  f が, 有界で supp f が有限測度であれば, その積分が
> 有限値で定まるわけです.

なるほど。そういう意味だったのですね。


>> あと,A_εの意味がよく分かりません。
> 何か写し間違いがあるようですね. 単関数列 ψ_n ≦ f を,
> 任意の正数 ε に対して, ある番号 N より大きな n に
> ついては |f - ψ_n| < ε が成立するように取れば,
>  N より大きな m, n については, |ψ_m - ψ_n| < ε でも
> あるので, |∫_X ψ_m dμ - ∫_X ψ_n dμ| < ε×μ(supp f),
> とするのが簡単だと思います.

つまり,lim[n→∞]∫_X ψ_n dμが収束値を持つ事を主張しているのですね。
|ψ_m-ψ_n|<εなら
|∫_X ψ_m dμ - ∫_X ψ_n dμ|≦∫_X |ψ_m - ψ_n|dμ
<ε×μ(supp f) (∵単関数の積分の定義).

よって{∫_X ψ_n dμ}はコーシー列になっているので収束値が存在し,∫_X ψ_n dμを定義できるという訳ですね。


>> ③は何なのでしょうか。
>> 一般の関数fの②以外でのルベーグ積分の定義の仕方でしょうか?
>  f が bounded でなかったり,  supp f が有限測度でなかったり
> する場合ですね. それの積分を bounded で support が有限測度
> の g の積分を用いて定義するわけです.

リーマン積分での広義積分の定義に似てますね。
キチンと書けばf=∞の場合,
∫_X fdμ:=sup{∫_X gdμ;0≦g≦f,∫_X gdμ<∞},
μ(supp(f))=∞の場合,
∫_X fdμ:=sup{∫_X gdμ;0≦μ(supp(g))≦μ(supp(f)),μ(supp(f))<∞}.
と定義するのですね。gは②でのfに相当するわけですね。
このgの呼び名はあるのでしょうか?
そして,積分値は有限でfへの単調増加族{g} (gの添数はではないでしょうから列ではなく族とでも言いましょうか) が必ず採れるのですね。
(ちょっと本で見つけれないもので)


>> ④は正負ごちゃまぜになった一般の関数のルベーグ積分の定義だと思います。多分。
> これは標準的ですね.

これ「④ f arbitrary ∫|f|dμ<∞, f^+(x)=max{f(x),0}≧0.
f^-(x)min{-f(x),0}≧0 」は正しくは
「④ f arbitrary ∫|f|dμ<∞, f^+(x)=max{f(x),0}≧0.
f^-(x)=max{-f(x),0}≧0」でしょうか?

∫|f|dμ<∞なら∫fdμ<∞の定義を∫fdμ:=∫f^+dμ-∫f^-dμで定義するわけですね。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/figure.jpg
のようになるのですね。
ピンクの曲線とx軸とで囲まれる面積から紫の曲線とx軸とで囲まれる面積を引いたものが∫fdμになるのですね。


>> あと,σ有限と言う条件は何処で必要なのでしょうか?
>  σ-有限でないと, supp g_n が有限測度であるような有界な
> 非負値可測関数 g_n ≦ f で lim_{n→∞} g_n = f となるもの
> の取り方に lim_{n→∞} ∫_X g_n dμ が依らないことの証明が
> 問題になった筈です.

ん? とり方に依らずlim_{n→∞} ∫_X g_n dμが定まるのなら問題ではないのではないでしょうか?
g_nのとり方に依ってlim_{n→∞} ∫_X g_n dμが定まらないのなら問題でしょうが。。


> sup_{0≦g≦f} ∫_X g dμ で定義すれば,
>  σ-有限でなくても定義は出来るわけですが.

このはσ有限でない無限測度でも使えるんですね。
覚えておきます。