小林＠那須です。

佐藤さんが指摘してくれた証明は誤りだと考えます。f(z)=exp(z) の例に適用してみれば
はっきりします。

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r, θの二次元球面座標の r, θによる直交する升目が直交性を保ったまま f(z) で射影
されることをイメージして納得してしまいました。二次元球面座標の r, θによる直交す
る升目が、複素平面での等高線と等位相面を表し、それを保ったまま 解析関数 f(z) が
変換してくれると誤解しました。

でも f(z) の具体例として exp(z) を考えると、そう単純ではないことが解りました。
exp(z) の等高線は純虚数線に平行な線になります。exp(z) の等位相面は実数軸に平行な
線になります。exp(z) の微分関数は exp(z) です。無限遠点以外で微分値が存在します。
逆関数は log(z) です。でも、exp(z) について指摘してくれたような両方で直交する配
置を作れません。

>逆関数 z=f^{-1}(w) が定義され、等角写像になります。|w|=const と arg(w)=const は
直交しています焦点は、上の文章をどのように理解するかだと解釈するかだと思います。
私は上の w に意味はないと思います。

私の解釈に誤解があれば指摘願います。

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小林憲次
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