いつも大変お世話になっております。

[Q] Let m_α denote the α-dimensional Hausdorff measure. Label each of
the following statements as TRUE or FALSE.

(a) A function f defined on a set E satisfies a Lipschitz condition
with γ if and only if for all x,y∈E,|f(x)-f(y)|=|x-y|^γ.

(b) If a function f defined on a compact set E satisfies a Lipschitz
condition with exponent γ,then
m_β(f(E))≦M^βm_α(E)
where β=α/γ.

(c) A quasi-simple, continuous curve z:[a,b]→R^d is rectifiable if and
only if Z={z(t);a≦t≦b} has strict Hausdorff dimension one.

という問題です。

(a)はFALSE.
何故ならf(x)=2xと考えると,M=2,γ=1で|f(x)-f(y)|≦2|x-y|^1となり,Lipschitz条件を満たすが
|f(x)-f(y)|/|x-y|=|2x-2y|/|x-y|^γ=2|x-y|/|x-y|^γ=2|x-y|^{1-γ}でも
し,x=0,y=1なら
2|x-y|^{1-γ}=2・1^{1-γ}=2≠1となるので
∀x,y∈Eに対して|f(x)-f(y)|=|x-y|^γを満たさない。

(b)は
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p331_167.jpg
のLemma2.2そのものなのでTRUE.

(c)はTRUEが正解のようです。
まず
連続で単射な写像をsimpleであると言います。
有限個の点以外で単射なsimple写像をquasi-simpleであると言います。
z:[a,b]→R^dがrectifiableであるの定義はzが[a,b]で連続でz([a,b])がstrict Hausdorff
dimensionを持つ。

それで必要性については今,zがrectifiableだというのだからrectifiableの定義からz([a,b])はstrict
Hausdorff次元を持つまで分かりますがこれからどのようにして,Hausdorff次元1を持つ事が示せますでしょうか?

十分性ついてもどのようにして示せばいいのでしょうか?

吉田京子