ご回答大変有難うございます。

>>> 1/(1 - z)^2 の展開は見たことがないですか.
>> すいません。見た事がありません。
> 1/(1 - z)^2
> = (1/(1 - z))^2
> = (Σ_{n=0}^∞ z^n)^2

これは|z|<1ならこのように展開できるのですよね。今,|z|<1かどうかは分からないのですよね。

> = (1 + z + z^2 + z^3 + …)(1 + z + z^2 + z^3 + …)
> = 1 + (1*z + z*1) + (1*z^2 + z*z + z^2*1) + …
> = 1 + 2 z + 3 z^2 + 4 z^3 + … + n z^{n-1} + …

有難うございます。

> です. (d/dz)(1/(1 - z)) = 1/(1 - z)^2 でもありますから,

そうですね。

> Σ_{n=0}^∞ z^n を項別微分しても得られます.

収束半径は|z|<1でこの範囲で項別微分できますね。

>>> ま, この問題は, そういうのがいらない, 簡単な問題ですが.
>> えっ? どのようにすればいいのでしょうか?
> 別記事では出来ているではありませんか. やはり,
> 少し考えてから質問するのが良いでしょう.

んん?
上記でご紹介いただいた1/(1-z)^2=Σ_{k=1}^∞ kz^{k-1}を利用すると
1/z^2=1/(1-(1-z))^2=Σ_{k=1}^∞ k(1-z)^{k-1} (但し,|z-1|<1)と書けるので
1/(z^2(z+3))=1/(z+3)Σ_{k=1}^∞ k(1-z)^{k-1}でz≠-3でなければならない。
|z-1|<1の時,z≠-3なので,結局,|z-1|<1が収束半径。。になるのでしょうか?