ご回答大変有難うございます。

この補題は「∀l∈Nに対し,∃c∈R;l≦∀k∈Nに対して,2^-l≦diamB<2^{-l+1}なるBは高々c・3^{k-l}の頂点を含む」
という意味ですよね。

> c や c' は, 使われている場所によって, 違う値の
> ことを意味しているかも知れないよ, 言っているのです.

了解いたしました。

>> 当然,≦diamBとなりますね。
> いや, 2^{-l} ≦ diam B というのは Lemma 2.6 における B に
> ついての仮定です.

了解いたしました。

>> 『v∈△_k⊂△'_l⊂B^*はFigure2から示される。
> v ∈ B, v ∈ Δ'_l から, Δ'_l ⊂ B^* が
> 導かれるところは宜しいですか.

Figure2ではよく見るとBに含まれる頂点は3つありますよね。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/triangle_l_k.jpg
のように。
よって9つの赤の小三角形が△_kに相当し,それを含む青の祖先三角形△'_l(1個)はB^*外にはみ出さないんすね。
よってFigure2では△'_lは9つの△_kを含んでB^*に含まれる祖先三角形なのですね。

> Δ'_l が v を中心として半径 2^{-l} の球に含まれ,

これは何処に記述されてますか? △'_lはk世代の小三角形ら△_kを含む小三角形としか記載されてませんが。。

> それは B^* に含まれるというわけです.

v∈△_k⊂△'_l⊂B^*からは△'_lがB^*に含まれるとは分かりますが。。
兎に角,△'_lは△_kを含む祖先三角形三角形で半径は高々2^{-l}なのですね。

>> 次にB^*が高々c個のl世代の相異なる三角形を含む事ができる正定数cが存在する。』
>> これは1世代で△'_1は3個,2世代で△'_2は9個,3世代で△'_3は27個…なので
>> l世代では△'_lの個数はc=3^lと書けますね。
> いや, 全部でいくつあるか, ではなく, 最大含んでいくつ含み得るか,
> が問題になっているのです. Lemma 2.6 の仮定で, B の直径は
> 2^{-l+1} 未満ですから, B^* の直径はその3倍未満で,

3/2^l≦diamB^*<3/2^{l-1}ですね。

>  その面積はπ(3*2^{-l})^2 未満です.

3/2^{l-1}が直径だからその半径は3/2^lで面積はπ(3*2^{-l})^2でπ(3*2^{-l})^2未満になりますね。

> その中に含まれうる l 世代の三角形の個数を問題にしています.

はい,そうですね。B^*の面積はπ(3/2^{l-1})^2以上π(3/2^l)^2未満でl世代の小三角形の一辺は1/2^lなので△'_lの面
積は√3/4・1/4^lになりますね。

>> 『これはl世代の三角形らは内核は互いに素でc'4^-lに等しい面積を持つ。』
>> これは1世代では△'_1=√3/4・4^-1、2世代では△'_2=√3/4・4^-2、
>> 3世代では△'_3=√3/4・4^-3、… …①
>> となるのでc'=√3/4なのですね。
> はい.

よって上記の通り,c'=√3/4と書け,B^*の面積は最大π(3*2^{-l})^2だから△'_lがπ(3*2^{-l})^2÷√3/4・
1/4^l=12√3πだから
[12√3π]=65 (但し,[ ]はガウスの記号)なのですね。

>> 『一方,B^*は高々c''4^-lの面積を持つ。』
>> diamB^*=3diamBなのでB^*の面積はπ(3diamB)^2=9π(diamB)^2となり,
>> lが入り込む余地はないと思うのですが…。
>> 勘違いしてますでしょうか?
> ですから, Lemma 2.6 の B についての仮定で
>  2^{-l} ≦ diam B < 2^{-l+1}
> としていることを見落としています.

そうでした。失礼いたしました。

>> あと,c''の値は何になるのでしょうか?
> c'' = 9 π ですね.

そうですね。

>> 『ついに各△'_lはk世代で3^{k-l}個の三角形を含んでいる,』
>> これは①からl=2,k=3ならp334Figure1
>> http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p335_005.jpg
>> から△'_2は△_3を3個含んでいる事が分かります。
>> 3=3^{3-2}の関係になっているのでうまくいってます。
>> 『従って,Bはk世代で高々c3^{k-l}個の頂点を含む事ができる。』
>> はFigure2から0世代で1個,1世代で1個,2世代で3個,
>> 3世代となっている事が分かります。
>> なのでl=1,k=3なら3個なので1/3・3^{3-1}と書けますからc=1/3と分かります。
> 違います. 高々 c''4^{-l} の面積の B^* の中には,
> c'4^{-l} の面積の Δ'_l でことなるものは

すいません。「c'4^{-l} の面積の Δ'_l でことなるもの」ってどういう意味でしょうか?

> c = [c''/c'] 個

これはπ(3*2^{-l})^2÷√3/4・1/4^lの事ですよね。c''=9π,c'=√3/4。
で上述の通りc=65個でいいんですかね。単にB^*の最大面積を△'_lの面積で割った商が△'_lがB^*に入り得る個数になるという考えはあまり
に短絡過ぎると思うのですが。。複数の△'_lをバラしてB^*に整理して詰め込めば65個はいるのかもしれませんが△'_lも所詮,祖先三角形の一部
なのでバラす事はできないと思うのですが。。

> しか入りません. 従って, Lemma 2.6 の B の中には k 世代の
> vertex は高々 c 3^{k-l} 個しか入っていません.

ひと△'_lにk世代のvertexはk=lなら1個,k=l-1なら3個,k=l-2なら9個,k=l-3なら27個,…ですから
c=65で高々c 3^{k-l}個のvertexが△'_lに含まれますね。

> これで Lemma 2.6 は証明されました.

即ち,「∀l∈Nに対し,∃c∈R;l≦∀k∈Nに対して,2^-l≦diamB<2^{-l+1}なるBは高々c・3^{k-l}の頂点を含む」
はc=65と採ればいいのですね。

>> 『Σ_{j=1}^N(diamB_j)^α≧c>0の証明を完結する為に
>> Σ_{j=1}^N(diamB_j)^α≧Σ_{l=1}^∞(N_l 2^{-lα}),
>> 但しN_lは2^-l≦diamB_j≦2^{-l+1}を満足するB~の個数をN_lと表記する
>> 　という事に気づけ。』
>> α=ln3/ln2だと推測しますが
>> どうしてΣ_{j=1}^N(diamB_j)^α≧Σ_{l=1}^∞(N_l 2^{-lα})
>> が言えるのでしょうか?
> 2^{-l} ≦ diam B_j < 2^{-l+1} なら

必ず,このようなlが採れるという保障は何処から来るのでしょうか?
もしかしたら∀l∈Nに対して,diamB_j<1/2^lとなるかもしれませんよね。
その場合はdiamB_j=0でB_jは一点集合でそれらがSを覆っているかもしれませんよね。

> (diam B_j)^α ≧ (2^{-1})^α = 2^{-lα} ですから,
>  Σ_{j=1}^N (diam B_j)^α
>  ≧ Σ_{j=1}^N (B_j の l についての 2^{-lα})
>   = Σ_{l=1}^∞ (N_l 2^{-lα})
> となります. 勿論, 被覆 { B_j } は十分 diam(B_j) が
> 小さなものを考えていますから, l が小さいところでは
> N_l = 0 でしょうし, 有限被覆ですから l が十分
> 大きいところでは N_l = 0 であり, 実は有限和である
> わけです.

これは分かります。2^{-l} ≦ diam B_jなるlが採れれば,Σ_{j=1}^N (diam B_j)^α=Σ_{j=1}^N
1/2^{l_j・α}=Σ_{l=1}^∞ N_l/2^{lα} (但し,N_l∈{0,1,…,N)
という形に書け,Σ_{j=1}^N 1/2^{l_j・α}が有限和ですからΣ_{l=1}^∞ N_l/2^{lα}…①も有限和。


>> 『補題2.6より,我々は族B~によって覆われるk世代の頂点の合計
>> cΣ_{l=1}^∞(N_l 3^{k-l})以上にはならない事が分かる。』
>> すいません。どうしてcΣ_{l=1}^∞(N_l 3^{k-l})以上にはならない事が
>> 分かるのでしょうか?
> Lemma 2.6 は 2^{-l} ≦ diam B_j < 2^{-l+1} となる
> B_j 中の k 世代の頂点の個数が高々 c 3^{k-l} 個だ
> といっているのですから,

そうですね。

>  その条件を満たす N_l 個中には
> N_l * c 3^{k-l} 個で, l について集めれば, { B_j } により
> Σ_{l=1}^∞ (N_l * c 3^{k-l}) = c Σ_{l=1}^∞ (N_l 3^{k-l})
> 個しか覆われないことが分かります.

N_l個の開球{B_{i_1},B_{i_2},…,B_{i_N_l}}はdiamB_{i_1}≧1/2^l,B_{i_2}≧1/2^l,
…,B_{i_N_l}≧1/2^lとなっているので
B_{i_1},B_{i_2},…,B_{i_N_l}はそれぞれ高々c_l・3^{k-l}(>0)個の頂点を含む(∵Lemma2.6)
従って,{B_{i_1},B_{i_2},…,B_{i_N_l}}は合計で高々N_l・c_l・3^{k-1}個の頂点を含む。
従って全lでは高々Σ_{l=1}^∞ N_l・c_l・3^{k-1}個の頂点を含む。

>> 『k世代での全ての3^kの頂点がSに含まれるので』
>> これはSの定義から当然ですね。
>> 『k世代の全頂点は覆われねばならない。』
>> これはSに覆われねばならないと言っているのでしょうか?
> { B_j } は S の被覆だから, k 世代の vertex 3^k 個も
> 全て含んでいる, ということです.

勿論そうですね。

>> 『cΣ_{l=1}^∞(N_l 3^{k-l})≧3^kでなければならない。』
>> これは「族B~によって覆われるk世代の頂点の合計
>> cΣ_{l=1}^∞(N_l 3^{k-l})以上にはならない」と言っているので,
>> 当然,cΣ_{l=1}^∞(N_l 3^{k-l})≧3^kが成り立ちますよね。

これは∪_{j=1}^N B_jが3^kの頂点を含んでいて,Σ_{l=1}^∞ N_l・c_l・3^{k-1}は重複して加算されてる可能性もあ
るので
Σ_{l=1}^∞ N_l・c_l・3^{k-1}≧3^kと言えますね。

>> 『従って,Σ_{l=1}^∞(N_l 3^-l)≧c』
>> cΣ_{l=1}^∞(N_l 3^{k-l})≧3^kからどうしてこの不等式が言えるのでしょうか?
> Σ_{l=1}^∞ (N_l 3^{-l}) ≧ 1/c ですが, 1/c を c と
> 書き直したのです. そうすることもある, と前以て注意が
> ありました.

なるほど。納得です。これでΣ_{l=1}^∞ N_l 1/3^l≧cと書けるのですね。

>> 『今,2^{-lα}=3^{-l}を保証するαの定義を思い起こせば十分である。』
>> αの定義はα=ln3/ln2でしたよね。
：
> 終わりました.

即ち,纏めるとSの有限個の開球被覆∀{B_1,B_2,…,B_N}に対してΣ_{j=1}^N (diamB_j)^α =Σ_{l=1}^∞
N_l 1/2^lα(∵①)
=Σ_{l=1}^∞ 1/3^l (∵α=ln3/ln2) ≧c>0.

ここで疑問なのですがTheorem2.5では本来,0<∀δ/2∈RでdiamF_j<δ/2なる任意のSの被覆{F_j}に対して,
Σ_{j=1}^∞ (diamf_j)^α≧c>0…(*)  を示したかったのですよね。
そこでF_jの2倍の直径の球被覆{B_j}を採って,Sがcompactである事から{B_j}から有限個の被覆を選べる。
そして,0<∀δ∈RでdiamB_j<δなるSの被覆{B_1,B_2,…,B_N}でΣ_{j=1}^N(diamB_j)^α≧c>0とたどり着
いた。
ここから(*)がどうして言えるのでしょうか?