ご回答大変ありがとうございます。


>> それで疑問なのですが (11)は②を示しているのだと思います。
> E = ∪ E_j  (disjoint) の時, |v|(E) = Σ |v|(E_j)
> を示して, |v| が可算加法性を満たすことを言うわけです.

そうですね。それが正測度である事
「符号付測度vでE = ∪ E_j  (disjoint) の時, |v|(E) = Σ |v|(E_j)」
をいう事になろうかと思います。
因みに負測度なら
「符号付測度vでE = ∪ E_j  (disjoint) の時, -|v|(E) = Σ-|v|(E_j)」
ですね。

>> α_j<|v|(E_j)なるα_jを採れば, E_j=∪_{i=1}^∞ F_{i,j}に於いて
>> α_j≦Σ_{j=1}^∞ |v(F_{i,j})となる事は分かります。
>            ^j についての和ではおかしい.

すいません。α_j≦Σ_{i=1}^∞ |v(F_{i,j})でした。

> |v|(E_j) = sup Σ_i |v(F_{i,j})|  (但し, E_j = ∪_i F_{i,j}  (disjoint))
> ですから, α_j < |v|(E_j) なら,
> α_j < Σ_{i=1}^∞ |v(F_{i,j})| (≦ |v|(E_j))
> を満たす E_j の分割 ∪_i F_{i,j} の「存在」が言えます.

うーんと,今|v|(E_j)=inf{Σ_{k=1}^∞|v|(F_{j,k});E_j=∪_{k=1}^∞F_{j,k},
M∋F_k:disjoint}なので
α_j < |v|(E_j) なら,上限の定義から
α_j < Σ_{i=1}^∞ |v(F_{i,j})|≦ |v|(E_j) …(*)
を満たす E_j の分割 ∪_i F_{i,j} の「存在」が確かに言えますね。
納得です。
同様にα_j < |v|(E) なら,上限の定義から
α_j < Σ_{j=1}^∞ |v(E'_j)|≦ |v|(E) …(**)
を満たす E の分割 ∪_i E'_j の「存在」も言えますね。

示したい事は任意のEの分割　E=∪ E_j  (disjoint)に対し,可算加法性|v|(E) = Σ |v|(E_j)であって,
|v|(E) = Σ |v(E_j)|ではないのですね。
Eの任意の分割はΣ_{j=1}^∞ |v(E_j)|≦ |v|(E)は満たしていますよね。
何となく分かってきました。

>> それでE=∪_{i,j=1}^∞ F_{i,j}より, Σ_{j=1}^∞ α_j≦Σ_{j,i=1}^∞
>> |v(F_{i,j})|≦|v|(E) となっていますがΣ_{j,i=1}^∞ |v(F_{i,j})|≦|v|(E)が
>> どうして言えるのか分かりません。
> それは |v|(E) = sup Σ_k |v(F_k)|  (但し, E = ∪_k (F_k)  (disjoint))
> という定義から出ることです.

これは分かります。

> E = ∪_{i,j=1}^∞ F_{i,j} も
> E の可算分割ですから.
> 結局, Σ_j α_j ≦ |v|(E) から, Σ_j |v|(E_j) ≦ |v|(E) が
> 出るのは良いですね.

つまり,こういう事ですね。
0<∀ε∈Rに対して|v|(E_j)-ε≦Σ_{i=1}^∞|v(F_{i,j})|≦|v|(E_j)なるE_jの任意の分割F_ijが存在して
(∵|v|(E_j)の定義),
Σ_{i=1}^∞|v(F_{i,j})|≦|v|(E_j) (∵E_j=∪_{i=1}^∞F_{i,j}なので|v|(E_j)の定義)であ
り
Σ_{j=1}^∞Σ_{i=1}^∞|v(F_{i,j})|=Σ_{i,j=1}^∞|v(F_{i,j})≦|v|(E) (∵E=∪_
{i,j=1}^∞F_{i,j}なので|v|(E)の定義)である。
よってΣ_{j=1}^∞ (|v|(E_j)-ε)≦|v|(E)と書け,
従って,εは任意に採っているのでΣ_{j=1}^∞|v|(E_j})≦|v|(E)と言える。

>> 単に全変動の定義からなら Σ_{j=1}^∞ |v|(E_j)≦|v|(E)は直ぐに言えるのではないでしょうか?
> どう言うのですか.
> # いずれ簡単な話ですが, きちんと論理的に示して下さい.

「|v|(E):=supΣ_{j=1}^∞ |v(E_j)| (但し,E=∪_{j=1}^∞ E_j (M∋E_jは互いに素))」が全変動の定
義でしたね。
|v|(E):=supΣ_{j=1}^∞ |v(E_j)に見えてしまっていました。


>> 『Σ_{k=1}^∞ |v(F_k)|=Σ_{k=1}^∞|Σ_{j=1}^∞ v(F_k∩E_j)|, 三角不等式の適用と
>> {F_k∩E_j}_kはE_jの分割であるという事実から
：
> |v|(E) ≦ Σ_j |v|(E_j) が導けるわけです.

納得です。

> F_k = ∪_j (F_k ∩ E_j)  (disjoint) は F_k の分割で,
：
> 結局, Σ_k |v(F_k)| ≦ Σ_j |v|(E_j) は良いですね.
> これから |v|(E) ≦ Σ_j |v|(E_j) が出ます.

ありがとうござます。ここも納得です。

>> も理解できません。 どうしてこのような証明の仕方なのでしょうか?
> E = ∪_k F_k  (disjoint) は色々と変えて考えているのです.
> それを変えたときの Σ_k |v(F_k)| の sup が |v|(E) の定義
> ですから, 当然こういう証明になります.

ありがとうございます。ここも納得です。

>> あと,①は示さないでいいのでしょうか? ①は分割の仕方によってはv(E)≦|v|(E)とはならないのでは ないような気がします。
：
> v(E) より小さくないのは当たり前です.

仰るとおりです。そうでした。