塚本さん、式の他に文献まで示してくださり有難うございます。小林＠那須です。

三次多項式からの類推で、Q 上の既約多項式の根は円周上に制限されるかもと誤っ
た方向に行きそうでした。多項式の具体例を提示してくれたお陰で、路を誤らずに
すみました。

Maxima で solve(X^4 - X - 1,X); とやって厳密解を求めて見ました。根の一つは
下のようなものでした。どうも、ガロア拡大をベクトル空間として扱うことは諦め
たほうが良さそうです。数値実験をしてみるにも複雑になりすぎそうです。

 X = 
                    SQRT(283)   1        SQRT(283)   1 2/3     3/2
SQRT(6 SQRT(3) SQRT(--------- + -) - (3 (--------- + -)    - 4)   )
                    6 SQRT(3)   2        6 SQRT(3)   2
-------------------------------------------------------------------
               SQRT(283)   1 1/6     SQRT(283)   1 2/3     1/4
    2 SQRT(3) (--------- + -)    (3 (--------- + -)    - 4)
               6 SQRT(3)   2         6 SQRT(3)   2

           SQRT(283)   1 2/3
   SQRT(3 (--------- + -)    - 4)
           6 SQRT(3)   2
 + ------------------------------]
               SQRT(283)   1 1/6
    2 SQRT(3) (--------- + -)
               6 SQRT(3)   2


>       (これはちょうど3個の実根を持つ既約多項式であるから)
>  A_5: X^5 - 30 X^4 + 300 X^3 - 1200 X^2 + 1800 X - 720
>       (私が値の代入で計算間違いしていなければ)

恐れ入りますが「これ」が指すもの、また、その後の論理が理解できません。時間
がありましたら解説をお願いできますでしょうか。

 Maxima で、この多項式の数値根を計算させてみました。

allroots(X^5 - 30*X^4 + 300*X^3 - 1200*X^2 + 1800*X - 720);
(D1) [X = 0.61703085327827, X = 2.112965958578525, X = 4.610833151017527, 

                                  X = 8.399066971204842, X = 14.26010306592084]

5 根とも実根でした。直感にすぎませんが、そのような Q 上の既約多項式は作れな
いだろうと思っています。

よろくお願いします。

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