円内の弦が内接する正三角形の辺より長い確率。

この条件を満たす弦は、その正三角形に内接する小円を必ず通る。
この小円の半径は元の円の半径の1/2である。

1. 弦の分布が円内で均一な弦の集合から選択すれば 1/2。
2. 弦の中点の分布が円内で均一な弦の集合から選択すれば 1/4。
3. 弦の端点の分布が円周上で均一な弦の集合から選択すれば 1/3。

ただ、それだけのことです。
約1名の面白い人だけが理解していないんですけどね。


で、この面白い人がどんなことを言ったかというと、

> 先ず、所与の円の円周上にこの円周をｍ等分する様な
> 点Ｐ1，Ｐ2，・・・，Ｐm をとる。
> 次に、Ｐ1 を端点の一つとする様な直径ｄを引き、
> ｄ上にｄを（ｎ＋１）等分する様な点Ｑ1，Ｑ2，
> ・・・，Ｑn をとる。 次に、Ｑ1，Ｑ2，・・・，
> Ｑn を それぞれ 通って、ｄに直交する弦 ｃ11，
> ｃ12，・・・，ｃ1n を引く。
> そして、それと同様なことを Ｐ2，・・・，Ｐm に
> 関しても行う。
> すると、合計で ｍｎ個の弦が得られることになる。

これは、1.の説明をしているわけです。ここまでは別に問題ありません。
この時、小円内の点の個数(小円内を通過する弦の本数)は、約 mn / 2 になります。
(厳密には、x を (n - 1) / 4 を越えない整数とすると、 2mx になります。)
さて、m→∞、n→∞ とした時の (小円内を通過する弦の本数 / 全体の弦の本数)
は、ある1人の面白い人を除くと答は1/2です。

ところが、その面白い人にかかると、

> よって、「円内からランダムに一点を選び、その点を
> 中点とする弦を採る」ことは、

この場合の答は1/4ですが、

> 上記のｍｎ個の弦の中
> からランダムに一つを選ぶことに他ならない。

1/2 = 1/4 などということを言い出してしまうわけです。

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 細井 修 (HOSOI, Osamu)  (  )し 
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