ご回答誠に有難うございます。

>> [問] Let p≡2(mod3)…【1】 and E_1:y^2=x^3+17 be an elliptic curve of
>> variables x and y.  Then #{(x,y)∈Z^2; y^2≡x^3+17(mod p)}=p.という 問題で質問です。
：
> 示された証明は多少迂遠ですが,
> まあ良いとしましょう.

有難うございます。

> 後者の後半で, (x, y) = (0, 0) が y^2 ≡ x^3 + 17  (mod p)の
> 解であるかのように書いてあるのは, 間違っています.

そうでした。

> x \in { 0, 1, 2, ... , p-1 } の中には唯一つ
> x^3 + 17 が p で割り切れるものがあります.
> それを x_0 とすると, (x, y) = (x_0, 0) が
> y^2 ≡ x^3 + 17  (mod p) の解です.

そうですね。【6】からそのように言えますね。

> { 0, 1, 2, ... , p-1 } から x_0 を除いたものの中から
> x を取ると, x^3 + 17 を p で割った余りの全体は
> { 1, 2, ... , p-1 } になりますから,

そうですね。

> そのうちちょうど半分が mod p で { 1, 2, ... , p-1 } の
> 何れかの二乗に一致する, というのが前者の主張でした.

はい。

>> 最後の部分が2・(p-1)/2+1=pとなる予定だったのですが
>> 頭の"2"がどこから来るのか分かりません。
> (x_1)^3 + 17 が mod p で 0 に合同でなく,
> { 1, 2, ... , p-1 } の何れか y_1 の二乗に
> mod p で一致するなら,
> (x, y) = (x_1, y_1) と (x, y) = (x_1, p - y_1) は
> 共に y^2 ≡ x^3 + 17  (mod p) の解になるので,
> (x, y) \in { 0, 1, 2, ... , p-1 }^2 の内,
> y^2 ≡ x^3 + 17  (mod p) の解になるものの数は,
> 2 * (p-1) / 2 + 1 = p であるという訳です.

なるほど。納得です。

> 以上は p が奇素数だとしています.
> 但し, p = 2 でも解の個数は 2 です.

そうですね。

> なお, (x, y) \in Z^2 で考えると解は無数にあるので,
> その mod p での同値類の数が p であると書くのが正しく,
> 表題の式
> #{(x,y)∈Z^2; y^2≡x^3+17(mod p)}=p.
> は間違っています.
> The number of points modulo p なのです.

#{(x,y)∈{0,1,…,p-1}^2; y^2≡x^3+17(mod p)}=pと書くべきだったのですね。