工繊大の塚本と申します.

In article <7b488f1c-053d-4883-a86c-338d2688b6d5@r29g2000yqj.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> [問] Let p≡2(mod3)…【1】 and E_1:y^2=x^3+17 be an elliptic curve of
> variables x and y.  Then #{(x,y)∈Z^2; y^2≡x^3+17(mod p)}=p.という
> 問題で質問です。
> 
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/elliptic_curve_modulo_p_1.JPG
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/elliptic_curve_modulo_p_2.JPG
> 
> という風に途中まで行けました。

後者の前半は, x \in { 0, 1, 2, ... , p-1 } に対して,
 x^3 + 17 の p による商での余り \in { 0, 1, 2, ... , p-1 } を
対応させる写像が一対一であるということで,
示された証明は多少迂遠ですが,
まあ良いとしましょう.

後者の後半で, (x, y) = (0, 0) が y^2 ≡ x^3 + 17  (mod p)の
解であるかのように書いてあるのは, 間違っています.
 x \in { 0, 1, 2, ... , p-1 } の中には唯一つ
 x^3 + 17 が p で割り切れるものがあります.
それを x_0 とすると, (x, y) = (x_0, 0) が
 y^2 ≡ x^3 + 17  (mod p) の解です.

 { 0, 1, 2, ... , p-1 } から x_0 を除いたものの中から
 x を取ると, x^3 + 17 を p で割った余りの全体は
 { 1, 2, ... , p-1 } になりますから,
そのうちちょうど半分が mod p で { 1, 2, ... , p-1 } の
何れかの二乗に一致する, というのが前者の主張でした.

> 最後の部分が2・(p-1)/2+1=pとなる予定だったのですが
> 頭の"2"がどこから来るのか分かりません。

 (x_1)^3 + 17 が mod p で 0 に合同でなく,
 { 1, 2, ... , p-1 } の何れか y_1 の二乗に 
 mod p で一致するなら,
 (x, y) = (x_1, y_1) と (x, y) = (x_1, p - y_1) は
共に y^2 ≡ x^3 + 17  (mod p) の解になるので,
 (x, y) \in { 0, 1, 2, ... , p-1 }^2 の内,
 y^2 ≡ x^3 + 17  (mod p) の解になるものの数は,
 2 * (p-1) / 2 + 1 = p であるという訳です.

以上は p が奇素数だとしています.
但し, p = 2 でも解の個数は 2 です.

なお, (x, y) \in Z^2 で考えると解は無数にあるので,
その mod p での同値類の数が p であると書くのが正しく,
表題の式
 #{(x,y)∈Z^2; y^2≡x^3+17(mod p)}=p.
は間違っています.
 The number of points modulo p なのです.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp